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Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Um oscilador harmônico fracamente amortecido é descrito pela equação m x ˙ ˙ = - k x - ρ x ˙ e a posição da massa em função do tempo é mostrada no gráfico abaixo. Para uma massa m = 1 k g , os valores de k e ρ mais apropriados para este oscilador (dica: l n 5 ≅ 1.6 ; l n 3 ≅ 1.1 ;   π 2 ≈ 10 ) são:

  1. k   =   50 N m   e   r   =   5 k g s .
  2. k   =   50 N m   e   r   =   0 ,   5 k g s .
  3. k   =   10 N m   e   r   =   10 k g s .
  4. k   =   100 N m   e     r   =   5 k g s .
  5. k   =   90 N m   e     r   =   0 ,   5 k g s .

Passo 1

Do gráfico vemos que o regime de amortecimento é o sub-crítico. Logo, a solução x ( t ) é da forma

x t = e - γ t 2 [ acos ⁡ ω t + b s e n ω t = A e - γ t 2 cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Com

ω = ω 0 2 - γ 2 4

Passo 2

Vemos também do gráfico que a amplitude da oscilação em t   =   2 s é 3 / 5 da correspondente amplitude em t   =   0 . Logo

A e - γ = 3 5 A

γ = ρ m = ln ⁡ 5 3 = l n 5 - l n 3 = 0,5

ρ = 0,5   k g / s

Passo 3

Também vemos do gráfico que o período das oscilações amortecidas é T   = 2 3 s , logo ω = 3 π r a d / s e, portanto

ω 2 = ω o 2 - γ 4 = k m - ρ 2 4 m 2 = 9 π 2 = 90

k = 90 N / m

Resposta

Letra E

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