O gráfico mostra a oscilação de um bloco de massa 300   g preso a uma mola. Responder justificando:

  1. Qual é a constante elástica da mola?
  2. Qual é o módulo da velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio?
  3. Qual é a constante de fase?

Passo 1

Certo, vamos lá! Analisando o gráfico, temos que a amplitude A do movimento que vale 0,4   m e o período T vale 2   s .

Para acharmos a constante elástica, sabendo estes valores, basta aplicarmos a fórmula. Mas, vamos deduzí-la por energia.

Quando o bloco está na amplitude máxima, tem apenas energia elástica:

E e l = k x 2 2 = k A 2 2

E quando está em x = 0 , tem apenas energia cinética:

E c = m v 2 2 = m v máx 2 2

Como a energia do sistema se conserva, podemos dizer que:

k A 2 2 = m v máx 2 2

v máx = A k m

Passo 2

Ixi, não temos a velocidade máxima. Mas espera aí, a gente sabe que para movimentos circulares, cuja dimensão característica é o raio, a velocidade vale:

v = ω R

Então, analogamente, para movimentos oscilatórios, onde A é a dimensão característica do movimento, temos:

v = ω A

v máx = 2 π T A

v máx = 2 π 2 ∙ 0,4 = 1,26   m/s

Passo 3

Agora sim podemos finalizar a questão substituindo os valores que já conhecemos.

v máx = A k m

1,26 = 0,4 ∙ k 0,3

k = 2,98 N / m

Passo 4

Como só temos a força elástica atuando, a posição de equilíbrio (que é quando a força resultante é nula) é em x = 0 . Neste caso, a velocidade que buscamos é, então a velocidade máxima.

Já calculamos, mas só pra confirmar, continuando com a energia, podemos voltar a usar a fórmula:

k A 2 2 = m v máx 2 2

2,98 ∙ 0,4 2 2 = 0,3 v máx 2 2

v máx = 1,26   m/s

Passo 5

Vamos começar com a fórmula que a gente já sabe:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Para t = 0

- 0,2 = 0,4 ∙ cos ⁡ ϕ

cos ⁡ ϕ =   - 1 2

Aqui temos duas possibilidades que dão cosseno igual a - 1 / 2

ϕ = 2 π 3   o u - 2 π 3

Mas só uma dessas fases é o correto! Pra descobrir qual dos dois, vamos olhar pra velocidade! Isso por que lá no gráfico do enunciado dá pra ver que a velocidade inicial é positiva, já que x ( t ) aumenta em t = 0 , beleza?

Pra achar a velocidade vamos simplesmente derivar x ( t )

v t = x ˙ t = A c o s ω t + ϕ ' = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

Em t = 0 essa velocidade será

v 0 = - A ω sen ⁡ ϕ

Como v 0 > 0

- A ω sen ⁡ ϕ > 0 → sen ⁡ ϕ < 0

E das duas opções que temos, a que dá seno negativo é

ϕ = - 2 π 3

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Resposta

  1. k = 2,98   N/m
  2. v = 1,26   m/s
  3. ϕ = - 2 π / 3

Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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