Um ponto move-se sobre a circunferência de raio desacelerando, de modo que no cada instante os módulos da aceleração radial e transversal são iguais. Sabendo que no instante a velocidade angular do ponto é igual a . Encontre, usando coordenadas polares:
- A velocidade angular do ponto.
- A velocidade do ponto.
- A aceleração do ponto.
Formulário:
Passo 1
a):
Do formulário:
Além disso, vamos guardar a informação de que no tempo inicial, isso é, quando a velocidade angular é
Bom, o enunciado disse que a aceleração transversal é igual à aceleração transversal radial. Então:
Isso é: Lembra de mecânica? A aceleração radial era dada por:
E a aceleração transversal, aquela que é perpendicular à radial, era dada por:
Voltando a equação. Chamando
Show! Agora chegamos a uma EDO. Se você não lembra direito como se resolve isso, dá uma olhada no nosso material de cálculo.( provavelmente estará em cálculo 2).
Mas vamos resolver devagar:
Integrando os dois lados:
Onde é a constante de integração. A gente pode chá-la usando a nossa condição inicial (:
Então, reescrevendo a expressão de pra esse valor de
Passo 2
b):
Bom, a velocidade linear é a velocidade angular vezes o raio. Lembre-se disso:
A aceleração linear, , é a aceleração angular vezes o raio: .
A velocidade linear é a velocidade angular vezes o raio: .
E o deslocamento é o deslocamento angular vezes o raio: .
Então, a velocidade linear será:
Passo 3
c):
Agora vamos lembrar daquela expressão que escrevemos na a):
Bom, só que quem é a derivada da velocidade angular ?É a aceleração angular!
Então a aceleração angular é:
Lembrando do que eu disse, a linear vai ser isso vezes o raio:
Usando a expressão de
Resposta
a):
b):
c):