Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Passo 1

Precisamos encontrar a superfície de nível w = f x , y , z = 0 na nossa função w = f ( x , y , z ) .

Vamos então igualar nossa função a zero.

w = x 2 + y 2 - 1 = 0

x 2 + y 2 = 1

Que é uma circunferência de raio 1 no plano x y .

Passo 2

Beleza, mas acontece que nossa função é uma função de 3 variáveis, de modo que temos que ter uma superfície de nível de espaço e não só uma curva no plano.

Aí que a gente usa a dica que a questão deu pra gente.

Pra encontramos a superfície a partir da curva, o que temos que fazer é traçar, em cada ponto da curva, uma reta perpendicular ao plano onde a curva se encontra, no caso, ao plano x y .

Assim, ao traçarmos uma reta perpendicular ao plano x y em cada ponto da curva, temos um cilindro normalzão daqueles que a gente já tá careca de conhecer:

Resposta

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z