Desenhar as curvas ou superfícies de nível dos seguintes campos escalares.

  1. f   :   R ²   →   R ,   f   ( x ,   y )   = y x + 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente desenhar as curvas de nível da função f dada. Para calcular as curvas de nível dessa superfície, precisamos fazer uma de suas variáveis constante e analizar que tipo de função obtemos quando temos as duas variáveis restantes variando. Por exemplo, vamos começar fazendo

f ( x , y ) = c t e = k

Fazendo isso, obtemos curvas nos planos paralelos ao plano z com equação

y ( x ) = k ( x + 1 )

Ou seja, temos retas de y em função de x, quando olhamos a superfície pelo eixo z. A figura abaixo ilustra a situação para k = 1, 2 e 3.

Agora vamos seguir o mesmo raciocínio para x constante e ver quais curvas obtemos. Então vamos lá!

Passo 2

Se fizermos x = k constante na função f   ( x ,   y )   = y x + 1 , obtemos

f ( k , y ) = y k + 1   ⇒   y = ( k + 1 ) f ( k , y )

Como k é constante, temos que as curvas são também retas, mas que passam na origem. Para k= 0, 1, 2 temos as curvas ilustradas na imagem abaixo:

Agora só falta determinar o que ocorre quando fazemos y constante. Bora lá!

Passo 3

Da função f   ( x ,   y )   = y x + 1 , se fizermos y = k constante, obtemos curvas do tipo

f   ( x ,   y )   = k x + 1

Temos funções que caem conforme x aumenta. A figura abaixo ilustra as curvas de nível dessa situação:

A figura a seguir ilustra a superfície definida por f(x,y):

Resposta

Desenvolvida ao longo da questão.

Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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