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Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Passo 1

a )

As superfícies de nível da nossa função V são:

V x , y = k

6 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = k

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 6 k

x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36 k 2

Dividindo todo mundo por 36 k 2 :

x 2 36 k 2 + 4 y 2 36 k 2 + 9 z 2 36 k 2 = 1

x 2 6 k 2 + y 2 3 k 2 + z 2 2 k 2 = 1

E tcharãaaaam: temos um elipsoide de semieixos a = 6 k no eixo x , b = 3 k no eixo y e c = 2 k no eixo z .

Passo 2

b )

Achamos na letra a que a superfície equipotencial é um elipsoide:

x 2 6 k 2 + y 2 3 k 2 + z 2 2 k 2 = 1

Pra achar a superfície equipotencial V x , y = 120   é só a gente substituir o k = 120 nessa equação aí.

x 2 6 120 2 + y 2 3 120 2 + z 2 2 120 2 = 1

x 2 6 120 2 + y 2 3 120 2 + z 2 2 120 2 = 1

400 x 2 + 1600 y 2 + 3600 z 2 = 1

Resposta

a )

Elipsoides x 2 6 k 2 + y 2 3 k 2 + z 2 2 k 2 = 1

Com semieixos a = 6 k no eixo x , b = 3 k no eixo y e c = 2 k no eixo z .

b )

400 x 2 + 1600 y 2 + 3600 z 2 = 1

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