Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

2.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível c da função F : R 3 → R :

f. F x , y , z = x 2 - y 2   e   c = 1 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, queremos esboçar a superfície de nível c da função F x , y , z = x 2 - y 2 em c = 1 .

Tem alguma ideia de como fazer isso? 😁

Para esboçar uma superfície de nível de uma função F x , y , z , temos que igualar F x , y , z a c onde c representa o nível que vamos obter.

Dessa maneira, eliminamos uma dimensão da função e assim é possível esboçar a superfície formada no espaço tridimensional.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Igualando c a F x , y , z temos

F x , y , z = x 2 - y 2 = c

x 2 - y 2 = c

Estamos interessados na superfície do nível c = 1 , ou seja

x 2 - y 2 = 1

x 2 = 1 + y 2

Nesse caso, vemos que a superfície independe de z , portanto esboçando essa curva no plano x y podemos fazer a projeção dela para ± z de modo que z seja constante, ou seja

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

x 2 = 1 + y 2

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z