Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar igualando nossa função ao nível genérico n :

z - x 2 - y 2 = n

z = x 2 + y 2 + n

E esse é nosso conjunto de nível.

C n f = x , y , z ∈ R 3   ; z = x 2 + y 2 + n  

Passo 2

Beleza, mas ainda precisamos saber quais são os possíveis valores que n pode assumir, pra poder fazer ele variar nesses valores e, assim, obtermos todas as nossas curvas de nível, ou seja, o conjunto de nível da nossa função.

Vamos começar determinando todos os valores que n pode assumir pra podermos encontrar nossos conjuntos de nível.

Temos

z = x 2 + y 2 + n

Isso não tem restrição nenhuma, né? Então significa que nosso n pode assumir qualquer valor.

Então

n ∈ R

Passo 3

Agora vamos fazer o n variar dentro desse intervalo para saber todos os conjuntos de nível da nossa função.

Se n = 0 :

z = x 2 + y 2 + 0

Ou seja, temos um paraboloide elíptico com eixo no eixo z e bem certinho com a “bunda” na origem rsrs

Assim óh:

Agora, se fizermos o n variar para além do zero, tanto positivamente quanto negativamente, o que acontece é que vamos estar deslocando o nosso paraboloide ao longo do eixo dele, que no caso é o eixo z .

Assim, se n > 0 a gente desloca nosso paraboloide de n unidades para cima, no eixo z e se n < 0 , a gente desloca nosso paraboloide de n unidades para baixo no eixo z .

Easy game?

Passo 4

Juntando tudo, a representação geométrica de todos os conjuntos de nível que podemos ter é

Resposta

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z