Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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Enunciado

Descreva as superfícies de nível da função abaixo.

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1

Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

⇒ ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = k

Tirando a exponencial nos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = e k

x 2 + y 2 + z 2 = e k + 1

Passo 2

Note que, para qualquer valor de k , o lado direito da equação é sempre positivo. Portanto, se substituirmos e k + 1 = r 2 , teremos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

E esta superfície é uma esfera de raio r = e k + 1

Resposta

As superfícies de nível k de f são esferas de raio e k + 1 .

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Calcule, caso exista.d) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x y)/(x^2 + y^2)
Calcule underset((h , k) - (0,0))(l i m) ((f (x + h , y + k) - f (x , y) - 2 x h - k))/(‖(h , k)‖) , onde f (x , y) = x^2 + y^2
1 - Calcule caso existae ) underset((x , y) - (0 , 0))(lim) (x y (x - y))/(x^4 + y^4)
Calcule, caso exista.b) underset((x , y) - (0,0))(l i m) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))
Represente graficamente e o domínio da função z = f x , y dada por b) f x , y = 1 - z