Descreva as superfícies de nível da função abaixo.

f(x, y, z) = ln(x^2 + y^2 + z^2 - 1)

Passo 1

Para encontrar as superfícies de nível basta igualar a função a uma constante:

f x , y , z = k

⇒ ln ⁡ x 2 + y 2 + z 2 - 1 = k

Tirando a exponencial nos dois lados:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = e k

x 2 + y 2 + z 2 = e k + 1

Passo 2

Note que, para qualquer valor de k , o lado direito da equação é sempre positivo. Portanto, se substituirmos e k + 1 = r 2 , teremos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

E esta superfície é uma esfera de raio r = e k + 1

Resposta

As superfícies de nível k de f são esferas de raio e k + 1 .

Exercícios Resolvidos de Superfícies de Nível

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