Exercícios Resolvidos de Aplicações da Hidrodinâmica

Ver Teoria

Enunciado

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20   c m 2 , enquanto a da garganta (2) é 10   c m 2 . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.

Considere ρ H g = 13600   kg/ m 3

Passo 1

Queremos encontrar a vazão:

Q = A v = constante

⇒ Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).

Perceba que temos A 1 e A 2 .

Pela equação da continuidade, podemos relacionar v 1 e v 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 1 v 2 = A 2 A 1

⇒ v 1 = A 2 A 1 v 2

Passo 2

Substituindo valores:

v 1 = A 2 A 1 v 2

⇒ v 1 = 10   c m 2 20   c m 2 v 2

⇒ v 1 = 1 2 v 2

Observe que não podemos determinar os valores de v 1 e v 2 , mas podemos relacioná-los.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.

Por isso temos uma mesma densidade ρ nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.

Passo 4

Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:

h 1 = h 2

Logo:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Passo 5

Rearranjando:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 ρ v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

Vamos lembrar que v 1 e v 2 estão relacionadas pela equação da continuidade:

v 1 = 1 2 v 2

Passo 6

Substituindo:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 4 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 1 - 1 4

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 3 4

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

Passo 7

Isolando v 2 :

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

⇒ ρ v 2 2 = 8 3 p 1 - p 2

⇒ v 2 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

Agora, note que não conhecemos ainda p 1 - p 2 .

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.

Passo 8

Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):

p A = p B

⇒ p 1 = p 2 + ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = ρ H g g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio e   h é a altura da coluna de mercúrio.

Pela figura:

h = 10   cm = 0,1   m

Agora é só substituir os valores para determinar p 1 - p 2 .

Passo 9

Substituindo valores:

p 1 - p 2 = ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = 13600 × 9,8 × 0,1

⇒ p 1 - p 2 = 1,33 × 10 4   Pa

Passo 10

Substituindo na equação anterior, para encontrar v 2 :

v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 × 1,33 × 10 4 3 × 1000

⇒ v 2 ≅ 6,0     m/s

Passo 11

Agora podemos substituir v 2 para encontrar a vazão:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 10 × 10 - 4   m 2 × 6,0   m / s

Q = 0,006   m³/s

Resposta

Q = 0,006   m³/s

Exercícios de Livros Relacionados

A figura mostra um sifão, que é um tubo usado para transferir líquidos de um recipiente para outro. O tubo A B C deve estar inicialmente cheio, mas, se essa condição é satisfeita, o líquido escoa pelo
Uma transição abrupta ocorre nos números de Reynolds de cerca de 3 * 10 5 , onde o arrasto em uma esfera se move através de um fluido diminui abruptamente. Estimar a velocidade com que essa transição
O cano de saída do esgoto de uma casa construída em uma encosta está a 6,59m abaixo do nível da rua. Se o cano coletor do esgoto está 2,16m abaixo do nível da rua, calcule a menor diferença de pressão
Qual é a área mínima (em metros quadrados) da supefície superior de uma placa retangular de gelo com 0,441m de espessura que flutua na água doce para que seja capaz de sustentar um automóvel de 938k g
A água flui através de um tubo horizontal de 25,0 cm de comprimento um diâmetro interno de 1,20 mm em 0,300 mL/s. Encontre a diferença de pressão necessária para conduzir esse fluxo se a viscosidade d