A figura abaixo mostra um garrafão de água mineral, hermeticamente fechado, que se encontra cheio até uma altura acima da boca da torneira. A área da boca da torneira é de (), muito menor do que a área da superfície da água dentro do garrafão. O ar acima da superfície da água está a uma pressão menor do que a pressão atmosférica, pressão manométrica . Considere o escoamento ideal, a aceleração da gravidade e .
- Determine a velocidade com que o fluido escoa.
- Calcule a vazão da torneira e determine o tempo necessário para se encher um copo de (volume igual a ).
- Ao sair da torneira, o jato de água fica mais fino durante a queda. Determine a área do jato após cair de uma altura abaixo da boca da torneira.
Passo 1
a)
Vamos calcular a velocidade de escoamento após o fluido percorrer a altura do garrafão.
Vamos usar a equação de Bernoulli:
Sendo que , , , e
Pra encontramos precisamos usar a definição de pressão manométrica:
Logo:
Então, a equação de Bernoulli fica:
Passo 2
b)
Como a gente já tem a velocidade, fica fácil calcular a vazão, já que vazão é velocidade vezes a área:
E essa é a taxa de variação do volume. Pra descobrirmos o tempo necessário pra se encher o copo, podemos usar a relação:
Passo 3
c)
Aqui iremos usar o princípio da continuidade:
O que acontece nessa situação? Bom, enquanto o fluido vai caindo, a sua velocidade vai aumentando. Como o princípio da continuidade deve ser respeitado, o aumento da velocidade gera uma diminuição da área.
Bom, então vamos calcular a velocidade do fluido quando .:
Vamos aplicar Bernoulli entre o ponto da torneira e o ponto de altura .
Vamos aplicar, então, Bernoulli entre a torneira e o ponto de altura . Vamos considerar, então, o ponto da torneira como ( E é por isso como que colocamos a outra altura como negativa).
Então, vamos usar agora aquela equação do início:
Resposta
a)
b)
c)