Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

12) Uma barra delgada e uniforme de massa m e comprimento L tem presa em uma de suas extremidades uma partícula de massa m , como mostra a figura. Ao calcularmos o momento de inércia do sistema barra + partícula em relação a um eixo passando pelo centro de massa do sistema e perpendicular à barra, encontramos

(a) 7 48 m L 2

(b) 1 3 m L 2 (c) m L 2

(d) 5 24 m L 2 .

(e) 10 12 m L 2

Passo 1

Fala aí, galerinhaa! Tudo certo??

Esse problema aqui está nos pedindo para calcular o momento de inercia daquele sistema barra + partícula em relação ao centro de massa do sistema. Bom, primeira coisa que a gente pode pensar é que o momento de inércia total vai ser a soma do momento de inércia da partícula com o momento de inércia da barra: I = I p a r t í c u l a + I b a r r a

O cuidado que a gente tem que ter é que essas quantidades tem que ser calculadas em relação ao centro de massa do sistema.

Então, a nossa tarefa é calcular aonde está o centro de massa do sistema e depois usar o teorema dos eixos paralelos: I = I C M + m d 2

Para calcular o momento de inércia da barra em relação a esse ponto.

Partiiiu resolver essa questão!

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro de massa do sistema. Como a barra é homogênea, podemos substituir a barra por uma partícula com a massa da barra concentrada em seu centro. Dessa maneira temos a seguinte situação análoga:

Agora a gente calcula a posição do centro de massa X c m desse sistema através da expressão:

X c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

adotando que a partícula de massa m está localizada na origem, x 1 = 0 , e que a partícula que representa a barra de massa m está à uma distância x 2 = L 2 da origem, temos:

X c m = m . 0 + m L 2 m + m = m L 4 m X c m = L 4  

Agora sabemos aonde está o centro de massa 😊

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia da partícula em relação a esse ponto. Esse momento é dado por: I p a r t í c u l a = m r 2

Onde r é a distância até o ponto que a gente quer. Como adotamos que a partícula está na origem e o ponto de referência é o centro de massa que está a uma distância da origem dada por

r = L 4

O momento de inércia da partícula é:

I p a r t í c u l a = m L 4 2 I p a r t í c u l a = m L 2 16  

Passo 4

Para a barra a gente tem que tomar um cuidado. Conhecemos o momento de inércia da barra em relação ao seu centro de massa: I c m = m L 2 12

Só que precisamos do momento de inércia em relação ao centro de massa do sistema. Esses pontos estão representados nessa figura aqui:

Dessa figura conseguimos ver que a distância entre os eixos é:

d = L 2 - L 4 d = L 4

Usando o teorema dos eixos paralelos conseguimos obter o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do sistema barra + partícula:

I b a r r a = I C M + m d 2 I b a r r a =   m L 2 12 +   m L 4 2 = m L 2 12 +   m L 2 16

Arrumando um pouco essa conta temos: I b a r r a =   7 m L 2 48

Beleza!!

Passo 5

Agora que temos todos os momentos de inércia podemos calcular o momento de inércia do sistema completo através da soma:

I = I p a r t í c u l a + I b a r r a I =   m L 2 16 + 7 m L 2 48  

Fazendo o MMC temos:

I = 10 m L 2 48 I = 5 m L 2 24

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

(d) 5 24 m L 2 .

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