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Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia de Partículas

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Enunciado

UNB, UnB - Gama, Física 1, P3 - 2017.2, Questão 2.

2. O momento de inércia, possui propriedades similares às do centro de massa, pois ambos são dados na forma de uma integral. Sendo assim, no cálculo do momento de inércia é possível dividir o domínio de integração em subdomínios, e posteriormente somar o resultado. Por exemplo, para a figura ao lado (um urso!), basta calcular o momento de inércia de cada uma das sub-regiões numeradas de 1 a 8 em relação ao eixo z , e depois somar o resultado:

I u r s o = ∫ u r s o ρ 2 d m = ∫ 1 ρ 2 d m + ∫ 2 ρ 2 d m +   …   + ∫ 8 ρ 2 d m = I 1 + I 2 +   …   + I 8

Sabendo disto, calcule o momento de inércia da figura abaixo em relação aos eixos 1 e 2 , supondo que as barras delgadas possuem massa desprezível, e que as barras grossas possuem massa m , são homogênas e possuem secção reta circular de raio R . Dados: momento de inércia de um cilindro homogêneo de massa m em relação ao eixo que passa pelo centro de sua secção reta de raio R e pelo seu centro de massa: I c i l = m R 2 / 2 ; momento de inércia de uma barra homogênea de massa m e comprimento L em relação ao eixo que é perpendicular à extensão da barra e passa pelo seu centro de massa: I b a r = m L 2 / 12 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Que enunciado enorme, não é? Resumindo... o que queremos obter é o momento de inercia da segunda figura com relação ao eixo 1 e ao eixo 2 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Nessa questão a ideia é aplicar o teorema dos eixos paralelos. I momento de inércia de um objeto cujo eixo de rotação não passa pelo centro de massa é dado por

I = I c m + m d 2

Em que I c m foi dado no enunciado, m é a massa do objeto e d é a distância do eixo do centro de massa com o eixo de rotação.

Bora lá! 👍

Passo 2

Para o eixo 1 temos que a barra central é rotacionada ao redor do seu centro de massa, portanto a contribuição dessa barra para o momento de inercia é dada por pela equação dada no enunciado

I 1 = m L 2 12

Já para as duas barras laterais, temos que usar o teorema

I 2 = I 3 = I c m + m d 2

I 2 = I 3 = m L 2 12 + m d 2

d é dado pela distância do eixo do centro de massa para o eixo de rotação, ou seja L 2 + L 2

I 2 = I 3 = m L 2 12 + m L 2 + L 2 2

I 2 = I 3 = m L 2 12 + m L 2

I 2 = I 3 = 13 m L 2 12

Somando I 1 , I 2 e I 3 , temos

I e i x o 1 = I 1 + I 2 + I 3

I e i x o 1 = m L 2 12 + 13 m L 2 12 + 13 m L 2 12

I e i x o 1 = 27 m L 2 12

I e i x o 1 = 9 m L 2 4

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora fazemos a mesma análise para o eixo 2 .

Agora consideramos as barras como cilindros.

Perceba que no eixo de rotação há dois cilindros, ou seja, pelo que foi dado no enunciado...

I 1 = I 2 = m R 2 2

E perceba que há um cilindro fora do eixo de rotação, portanto para ele aplicamos o teorema dos eixos paralelos.

I 3 = I c m + m d 2

I 3 = m R 2 2 + m D 2

Somando os momentos de inercia, temos

I e i x o 2 = m R 2 2 + m R 2 2 + m R 2 2 + m D 2

I e i x o 2 = 3 m R 2 + 2 m D 2 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

I e i x o 1 = 9 m L 2 4

I e i x o 2 = 3 m R 2 + 2 m D 2 2

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