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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 7ª edição americana. Capítulo 14 Seção 3 Problema 76.

(Cap 14.3 – Ex 76) Determine se cada uma das seguintes funções é uma solução da equação de Laplace u x x + u y y = 0

  1. u = x 2 + y 2
  2. u = x 2 - y 2
  3. u = 3 3 + 3 x y 2
  4. u = ln ⁡ x 2 + y 2
  5. u = s e n   x cosh ⁡ y + cos ⁡ x sinh ⁡ y
  6. u = e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

A questão propõe a verificação da equação de Laplace: u x x + u y y = 0 para cada item.

Para isso, devemos obter as derivadas parciais de segunda ordem u x x   e u y y . A ideia é determinar a derivada em relação a variável, fixando a outra como valor constante.

Passo 2

  1. u = x 2 + y 2

    2. Diferenciando parcialmente em relação a x, temos

    u x = 2 x

    Novamente

    u x x = 2

    Diferenciando parcialmente em relação a y, temos

    u y = 2 y

    Novamente

    u y y = 2

    Portanto, a função dada não e uma solução da equação u x x + u y y = 0

    Passo 3

  2. u = x ² - y ²

    3. u x = 2 x   u x x = 2

    u y = - 2 y   u y y = - 2

    u x x + u y y = 0 .   Logo, é solução da equação de Laplace.

    Passo 4

  3. u = x 3 + 3 x y 2

    4. u x = 3 x ² + 3 y ²   🡪 u x x = 6 x

    u y = 3 x . 2 y = 6 x y   🡪 u y y = 6 x

    u x x + u y y = 6 x + 6 x = 12 x .   Logo, não é solução da equação de Laplace.

    Passo 5

  4. u = l n l n   x ² + y ²  

    5. u x = 1 x ² + y ² .   1 2 x ² + y ² .   2 x =   x x ² + y ²

    u x x = 1 x 2 + y 2 - x ⋅ 2 x x 2 + y 2 =   y ² - x ² x ² + y ²

    Pela ‘simetria’, podemos afirmar que:

    u y y =   x ² - y ² x ² + y ²

    u x x + u y y =   y ² - x ² x ² + y ² +   x ² - y ² x ² + y ² . = 0   .

    Logo, é solução da equação de Laplace.

    Passo 6

  5. u = sin ⁡ x cos ⁡ h y + cos ⁡ x sin ⁡ h y

    6. Logo

    u x = cos ⁡ x cos ⁡ h y - sin ⁡ x sin ⁡ h y

    u x x = - sin ⁡ x cos ⁡ h y - cos ⁡ x sin ⁡ h y

    u y = sin ⁡ x sin ⁡ h y + cos ⁡ x cos ⁡ h y

    u y y = sin ⁡ x   cos ⁡ h y + cos ⁡ x sin ⁡ h y

    Agora u x x + u y y = - sin ⁡ x cos ⁡ h y - cos ⁡ x sin ⁡ h y + sin ⁡ x cos ⁡ h y + cos ⁡ x s i n h y

    = 0

    Portanto, a função dada e uma solução da equação u x x + u y y = 0

    Passo 7

  6. u = e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

u x = - e - x cos ⁡ y + e - y sin ⁡ x

u x x = e - x cos ⁡ y + e - y cos ⁡ x

u y = - e - x sin ⁡ y + e - y cos ⁡ x

u y y =   - e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

Agora u x x + u y y = e - x cos ⁡ y + e - y cos ⁡ x - e - x cos ⁡ y - e - y cos ⁡ x

= 0

Portanto, a função dada e uma solução da equação u x x + u y y = 0

Resposta

  1. Não é solução da equação de Laplace
  2. É solução da equação de Laplace
  3. Não é solução da equação de Laplace
  4. É solução da equação de Laplace
  5. É solução da equação de Laplace
  6. É solução da equação de Laplace

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