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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

USP, Lorena, Cálculo II, Listas de C2 - Profº Darcy Villela - Lista 11, Questão 2

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

2) w x , y , z = ln ⁡ x + 2 y + 3 z

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos apenas que calcular as derivadas parciais de w .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para calcular as derivadas parciais de uma função, derivamos normalmente considerando as variáveis adjacentes como constantes.

Ou seja, para derivar w com relação a x , consideramos y e z como constantes e assim sucessivamente.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função a ser derivada é dada por

w x , y , z = ln ⁡ x + 2 y + 3 z

Vamos começar derivando com relação a x ...

∂ w ∂ x = ∂ ln ⁡ x + 2 y + 3 z ∂ x

Como nossa função se trata de uma função composta, então para o cálculo da sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia...

∂ w ∂ x = ∂ x + 2 y + 3 z ∂ x ∂ ln ⁡ u ∂ u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, chegamos em

∂ w ∂ x = 1 1 u = 1 u

Voltando u para x + 2 y + 3 z

∂ w ∂ x = 1 x + 2 y + 3 z

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y

∂ w ∂ y = ∂ ln ⁡ x + 2 y + 3 z ∂ y

Pela regra da cadeia também

∂ w ∂ y = ∂ x + 2 y + 3 z ∂ y ∂ ln ⁡ u ∂ u

Novamente pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo...

∂ w ∂ y = 2 1 u = 2 u

Voltando u para x + 2 y + 3 z

∂ w ∂ y = 2 x + 2 y + 3 z

Por fim, vamos derivar com relação a z seguindo os mesmos passos usados anteriormente

∂ w ∂ z = ∂ ln ⁡ x + 2 y + 3 z ∂ z

∂ w ∂ z = ∂ x + 2 y + 3 z ∂ z ∂ ln ⁡ u ∂ u

∂ w ∂ z = 3 1 u = 3 u

Substituindo u ...

∂ w ∂ z = 3 x + 2 y + 3 z

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∂ w ∂ x = 1 x + 2 y + 3 z

∂ w ∂ y = 2 x + 2 y + 3 z

∂ w ∂ z = 3 x + 2 y + 3 z

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