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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

UFPE, Cálculo 2, EE1, 2016.1, questão 4

Seja u r , θ = e r θ s e n θ , determine ∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ

Passo 1

Vamos começar encontrando ∂ u ∂ θ :

∂ u ∂ θ = c o s θ e r θ + r s e n θ e r θ

Passo 2

Agora, vamos fazer:

∂ ∂ u ∂ θ ∂ r = ∂ 2 u ∂ r ∂ θ = θ c o s θ e r θ + s e n θ e r θ + r θ s e n θ e r θ

Passo 3

Finalmente:

∂ ∂ 2 u ∂ r ∂ θ ∂ r = ∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ = θ 2 c o s θ e r θ + θ s e n θ e r θ + θ s e n θ e r θ + r θ 2 s e n θ e r θ

Ajeitando:

∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ = θ e r θ θ c o s θ + 2 s e n θ + r θ s e n θ

Resposta

∂ 3 u ∂ r 2 ∂ θ = θ e r θ θ c o s θ + 2 s e n θ + r θ s e n θ  

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