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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Responda os itens a seguir.

Seja função

f x , y = x e y + ln ⁡ y + 1 x 2 y + 1

Calcule as derivadas parciais f x ,   f y ,   f y x e f y y .

Passo 1

Falaaa!

Determinar as derivadas parciais f x e f y , para f que é função de x e y , é derivar essa função em relação a x (considerando y uma constante) e em relação a y (considerando x a constante).

Aí a gente usa as regrinhas normais de derivação.

Vamos começar por elas e depois a gente vê como faz   f y x e f y y   Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f em relação a x : f x .

f x , y = x e y + ln ⁡ y + 1 x 2 y + 1

Aplicando a derivada em relação a x :

f x = ∂ x e y + ln ⁡ y + 1 x 2 y + 1 ∂ x = ∂ x e y ∂ x + ∂ ln ⁡ y ∂ x + ∂ 1 x 2 y + 1 ∂ x

Vamos olhar cada terminho desse. Como a derivada de constante sozinha é zero, e em relação a x , y é constante, temos que

∂ ln ⁡ y ∂ x = 0

Agora como a gente vai derivar uma constante, no nosso caso e y , vezes uma função de x , podemos tirar ela da derivada:

∂ x e y ∂ x = e y ∂ x ∂ x = e y ⋅ 1 = e y

E por fim, a gente tem uma fração. Mas dentro do denominador tem outra função. Então a gente considera isso uma função composta e usa a regrinha da cadeia. Fica assim:

∂ 1 x 2 y + 1 ∂ x = ∂ x 2 y + 1 - 1 ∂ x = - 1 x 2 y + 1 2 ⋅ ∂ x 2 y + 1 ∂ x =

= - 1 x 2 y + 1 2 ⋅ y ∂ x 2 + 1 ∂ x + ∂ 1 ∂ x = - 1 x 2 y + 1 2 ⋅ y 2 x

Substituindo essas coisas que a gente achou na nossa derivada:

f x = e y - 2 y x x 2 y + 1 2

Passo 3

Agora em relação a y : f y

Temos que x é a nossa constante agora. Vai ficar até um pouco parecido, repara:

f y = ∂ x e y + ln ⁡ y + 1 x 2 y + 1 ∂ y = ∂ x e y ∂ y + ∂ ln ⁡ y ∂ y + ∂ 1 x 2 y + 1 ∂ y

Agora que sai da derivada é o x . E o último termo continua sendo uma função composta. Usamos a regrinha da cadeia de novo.

f y = x ∂ e y ∂ y + ∂ ln ⁡ y ∂ y - 1 x 2 y + 1 2 ⋅ ∂ x 2 y + 1 ∂ y

f y = x e y + 1 y - x 2 x 2 y + 1 2

Passo 4

Agora vamos olhar f y y . Isso é derivar f y em relação a y de novo. Aí x a gente continua considerando constante.

f y y = ∂ x e y + 1 y - x 2 x 2 y + 1 2 ∂ y = ∂ x e y ∂ y + ∂ 1 y ∂ y + ∂ - x 2 x 2 y + 1 2 ∂ y

Tirando o que a gente considera constante da derivada

f y y = x ∂ e y ∂ y + ∂ 1 y ∂ y - x 2 ∂ 1 x 2 y + 1 2 ∂ y

Agora é derivar. Lembrando de usar a regra da cadeia no último termo:

f y y = x e y - 1 y 2 - x 2 ∂ x 2 y + 1 - 2 ∂ y

f y y = x e y - 1 y 2 - x 2 - 2 x 2 y + 1 - 3 ∂ x 2 y + 1 ∂ y

f y y = x e y - 1 y 2 + 2 x 2 x 2 y + 1 3 x 2

f y y = x e y - 1 y 2 + 2 x 4 x 2 y + 1 3

Passo 5

Por fim, vamos olhar f y x . Isso é derivar f y em relação a x dessa vez. Aí y a gente considera constante.

f y x = ∂ x e y + 1 y - x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x = ∂ x e y ∂ x + ∂ 1 y ∂ x + ∂ - x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x

A gente pode aplicar as regrinhas que já vimos até aqui:

f y x = e y ∂ x ∂ x + 0 - ∂ x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x

f y x = e y - ∂ x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x

Repara que nesse último termo, agora temos uma fração de funções de x , por isso precisamos aplicar a regra do quociente:

∂ x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x = ∂ x 2 ∂ x x 2 y + 1 2 - x 2 ∂ x 2 y + 1 2 ∂ x x 2 y + 1 4

Naquela última derivada a gente usa a regra da cadeia também. Aí fica assim:

∂ x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x = 2 x x 2 y + 1 2 - x 2 2 x 2 y + 1 1 2 x y x 2 y + 1 4

∂ x 2 x 2 y + 1 2 ∂ x = 2 x x 2 y + 1 2 - 4 y x 3 x 2 y + 1 3

Nossa derivada fica:

f y x = e y - 2 x x 2 y + 1 2 + 4 y x 3 x 2 y + 1 3

Resposta

f x = e y - 2 y x x 2 y + 1 2

f y = x e y + 1 y - x 2 x 2 y + 1 2

f y y = x e y - 1 y 2 + 2 x 4 x 2 y + 1 3

f y x = e y - 2 x x 2 y + 1 2 + 4 y x 3 x 2 y + 1 3

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