USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 31
Seja uma função qualquer. Assinale a única afirmação falsa.
a) Se existe, então também existe.
b) Se e existem e são funções de classe em , então para todo tem-se .
c) Se é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .
d) Se para todo vetor unitário , então .
e) Se para todo , então é diferenciável em .
Passo 1
Eai pessoal, beleza? Prontos para mais uma questão teórica? Partiu!!!
Temos que achar a afirmativa falsa, então vamos olhar para a primeira: Se existe, então também existe. Basicamente, o que ela diz é que se a segunda derivada mista existe numa ordem, ela vai existir com a ordem trocada. Isso tem cara de ser verdade na maioria dos casos, mas deve existir algum exemplo que isso não é verdade...
Para isso vamos tentar uma situação com uma função que sabemos não ser derivável: o módulo!
Como ela não depende de , temos que
Assim, derivando agora com relação a :
Legal, nessa ordem (primeiro depois ) a derivada existe em qualquer ponto!
Passo 2
Agora vamos inverter a ordem: derivar primeiro em ! Sabemos que a derivada do módulo é se , se e não existe para . Assim, no ponto não existe a derivada de com relação a :
Assim,
Vemos que nessa ordem a segunda derivada mista não existe.
Com isso, achamos um contra exemplo para a afirmação: ela é falsa! Como o enunciado disse que só tem uma afirmativa falsa, já podemos assinalar a alternativa A 😉
Resposta
Alternativa A.