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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo II, P2 - 2022.2, Questão 3

3. A equação de Laplace é uma importante relação que descreve importantes propriedades físicas. Uma função f resolve esta equação quando ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 . Mostre que f x , y = arctan ⁡ x y é uma solução para a equação de Laplace.

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

De maneira resumida, queremos provar que a função f x , y = arctan ⁡ x y é solução da equação de Laplace dada por ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .

E agora? como vamos fazer isso? 🤔

Para provar que f é solução da equação, temos que obter as derivadas parciais de f de segunda ordem e substituir na equação... se a igualdade for satisfeita, então f é solução.

Parece tranquilo, não é? 😊

Passo 2

Vamos começar derivando f parcialmente em relação a x

f x = ∂ arctan ⁡ x y ∂ x

Pela regra da cadeia, temos

f x = ∂ x y ∂ x · ∂ arctan ⁡ u ∂ u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f x = 1 y · 1 u 2 + 1

Voltando u para x / y

f x = 1 y x 2 y 2 + 1 = 1 x 2 y + y

f x = y x 2 + y 2

Derivando novamente em relação a x pela regra do quociente...

f x x = ∂ y x 2 + y 2 ∂ x = ∂ y ∂ x · x 2 + y 2 - y · ∂ x 2 + y 2 ∂ x x 2 + y 2 2

f x x = 0 · x 2 + y 2 - y · 2 x x 2 + y 2 2

f x x = - 2 x y x 2 + y 2 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para y

f y = ∂ arctan ⁡ x y ∂ y

Pela regra da cadeia, temos

f y = ∂ x y ∂ y · ∂ arctan ⁡ u ∂ u

f y = - x y 2 · 1 u 2 + 1

Voltando u para x / y

f y = - x y 2 · 1 x y 2 + 1 = - x y 2 x 2 y 2 + 1

f y = - x x 2 + y 2

Derivando o resultado novamente em função de y

f y y = ∂ - x x 2 + y 2 ∂ y = - ∂ x ∂ y · x 2 + y 2 - x · ∂ x 2 + y 2 ∂ y x 2 + y 2 2

f y y = - 0 · x 2 + y 2 - x · 2 y x 2 + y 2 2

f y y = 2 x y x 2 + y 2 2

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Substituindo f x x e f y y na equação de Laplace, temos

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

- 2 x y x 2 + y 2 2 + 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

- 2 x y x 2 + y 2 2 + 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

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