Considere as seguintes afirmativas sobre a equação
- é uma solução.
- é uma solução.
- é uma solução.
Assinale a alternativa correta:
- A afirmativa I é a única correta
- A afirmativa II é a única correta
- Todas as afirmativas são falsas
- Todas as afirmativas são corretas
- A afirmativa III é a única correta
Passo 1
Bom, primeiramente, vamos analisar a igualdade:
É uma igualdade que envolve a derivada segunda em relação a e as derivadas parciais mistas.
Maaaaaaas, a gente sabe que em dos casos, as derivadas parciais mistas são iguais duas a duas. Isso significa que dá pra fazer algumas simplificações nesse negócio aí.
Então, cortando as derivadas parciais mistas que são iguais e que temos uma com sinal de mais e outra com sinal de menos:
Sobra só isso daí.
Ainda bem, porque poupa nosso trabalho de ter que calcular muitas derivadas.
Passo 2
Ótimo, agora que já simplificamos nossa igualdade, o jeito vai ser testar cada uma das alternativas, fazendo as derivadas segundas de cada uma das funções e vendo se atende a igualdade.
Vamos começar pela função
A derivada primeiras em relação a é: (dica: como as derivadas parciais mistas são iguais, a gente pode calcular só e depois pegar essa e derivar em relação a )
Assim, a derivada segunda de em relação a vai ser
E as derivadas parciais mistas vão ser
Agora vamos testar na igualdade:
Opaaaa
A afirmativa tá certa então.
Passo 3
Agora vamos testar para a função
A derivada primeira em relação a é:
Assim, a derivada segunda de em relação a vai ser
E as derivadas parciais mistas vão ser
Agora vamos testar na igualdade:
BUÊ BUÊ BUÊ BUÊEEM, não deu certo.
A afirmativa é falsa.
Passo 4
Finalmente, vamos testar a função
A derivada primeira em relação a é:
Assim, a derivada segunda de em relação a vai ser
E as derivadas parciais mistas vão ser
Agora vamos testar na igualdade:
Também não deu certo.
Assim, só a afirmativa é verdadeira.