Origem do Exercício
A equação de Laplace tridimensional é:
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
Considere as funções:
Identifique as funções harmônicas:
Passo 1
Nessa questão, ser o mais rápido possível é tão importante quanto saber resolver, porque em uma prova pode ser bastante trabalhoso calcular três derivadas segundas para cada função.
A função está em todas as opções, ou seja, é certo que ela é harmônica, então não precisamos analisá-la.
Passo 2
Outra coisa que podemos fazer para acelerar é o seguinte: tem alguma função ali que “claramente” vai obedecer à equação de Laplace?
Bom quando nós tiramos a derivada segunda de um polinômio, ele só “sobrevive” se tiver pelo menos grau dois! Na equação não temos nenhum expoente, então vamos ver como ela se comporta quando é substituída na equação de Laplace:
Vamos derivar uma vez:
E agora derivando de novo:
Como previmos, a função é harmônica! Com isso só restam as alternativas (d) e (e), ou seja, temos que verificar se a ou a são harmônicas.
Passo 3
Olhando as opções, vemos que só uma pode ser harmônica. Vamos começar pela .
A função é essa:
Nas derivadas parciais em relação a , só o primeiro termo “sobrevive”, e os outros dois viram zero:
E para essa derivada só precisamos aplicar a regra da cadeia:
E derivando pela segunda vez:
E podemos fazer quase a mesma coisa para a derivada em relação a :
E é ainda mais simples para a derivada em relação a :
Agora é só somar os três valores:
Não deu zero! Então a função não é harmônica. Com isso só sobra a letra (e).
Resposta
Letra (e).