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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

James Stewart – Cálculo Volume 2 – Tradução da 7ª edição americana. Capítulo 14 Seção 3 Problema 80.

(Cap 14.3 – Ex 80) Se u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x onde a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = 1 mostra isso

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Passo 1

E ai meus queridos? Tudo certinho?

Então vem comigo que no caminho eu explicooo

A expressão dada pelo enunciado é

u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 2

Iremos diferenciar parcialmente em relação a x 1

∂ u ∂ x 1 = a 1 e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Novamente, em relação a x 1

∂ 2 u ∂ x 1 2 = a 1 2   e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 3

Iremos diferenciar parcialmente duas vezes em relação a x 2

∂ u ∂ x 2 = a 2 2 e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Portanto, no geral

∂ 2 u ∂ x i 2 = a i 2   e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 4

Então

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2

= ( a 1 2 + a 2 2 + … . + a n 2 ) e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Desde

a 1 2 + a 2 2 + … . + a n 2 = 1

Portanto

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Resposta

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

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