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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

f x , y = e x y + x ln ⁡ y 2

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = e x y ⋅ 1 y + 1 ⋅ ln ⁡ y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Aplicando a Regra da cadeia:

∂ f ∂ y = e x y ⋅ ∂ ∂ y x y + x ⋅ 1 y 2 ⋅ ∂ ∂ y y 2

∂ f ∂ y = e x y ⋅ - x y 2 + x ⋅ 1 y 2 ⋅ 2 y

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y y 2

⇒ ∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 ⋅ e x y + - x y 2 ⋅ e x y ⋅ 1 y ⏟ REGRA DO PRODUTO + 2 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Passo 4

De maneira alternativa, podemos também calcular a derivada mista da seguinte maneira:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 ⋅ e x y + 1 y ⋅ e x y ⋅ - x y 2 ⏟ REGRA DO PRODUTO + 1 y 2 ⋅ 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y + x y e x y + 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

Como esperado, o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 1 y e x y + ln ⁡ y 2

∂ f ∂ y = - x y 2 e x y + 2 x y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 y 2 e x y 1 + x y + 2 y

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