Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Mostre que

d 2 d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x ( - x x 2 + y 2 ) = d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálc 2. Nosso objetivo é mostrar que:

d 2 d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x ( - x x 2 + y 2 ) = d d y ( y x 2 + y 2 ) = ( x 2 - y 2 x 2 + y 2 )

Passo 2

Vamos começar relembrando que

d d x a r c t g ( x ) = 1 x 2 + 1

Logo, pela regra da cadeia, temos que

d d x a r c t g ( x / a ) = 1 x 2 / a 2 + 1 * 1 a

= a x 2 + a 2

Ou seja, então temos que:

d d x a r c t a n ( x / y ) = y x 2 + y 2

e

d d y a r c t a n ( x / y ) = - x x 2 + y 2

Passo 3

Agora, vamos calcular

d d y d x a r c t a n ( x / y ) = d d y y x 2 + y 2

pela regra razão, temos:

d d y y x 2 + y 2 = x 2 + y 2 - y ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 - y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

E de forma análoga, temos que

d d x d y a r c t a n ( x / y ) = d d x - x x 2 + y 2

= d d x - x x 2 + y 2 = - x 2 - y 2 + x ( 2 x ) ( x 2 + y 2 ) 2

= x 2 - y 2 ( x 2 + y 2 ) 2

Demonstrando assim o resultado

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   a c i m a

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