Seja .
b) Verifique que para todo .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que as derivadas parciais de segunda ordem da função são iguais em qualquer ponto do .
Então, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se elas são iguais.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando em relação a , usando a regra do produto:
Simplificando, temos:
Derivando esse resultado em relação a , temos:
Aplicando a propriedade distributiva:
Passo 3
De maneira muito parecida, derivando em relação a , vamos obter:
Derivando agora em relação a , temos:
Aplicando novamente a propriedade distribuitiva, vai ficar:
Portanto, para todo , como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉