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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.16b

Seja f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 ,     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 ) .

b) Verifique que ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y para todo x ,   y ∈ R 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que as derivadas parciais de segunda ordem da função f x ,   y são iguais em qualquer ponto do R 2 .

Então, vamos derivar a função parcialmente em relação a cada variável e verificar se elas são iguais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 em relação a x , usando a regra do produto:

∂ ∂ x x 2 + y 2 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ ∂ x = 4 x x 2 + y 2 sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 2

Simplificando, temos:

∂ ∂ x = 4 x sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Derivando esse resultado em relação a y , temos:

∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y = ∂ ∂ y 4 x sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y = 4 x - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Aplicando a propriedade distributiva:

∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y = - 8 x y cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 8 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

De maneira muito parecida, derivando em relação a y , vamos obter:

∂ ∂ y = 4 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2

Derivando agora em relação a x , temos:

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ ∂ x 4 y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2 y cos ⁡ 1 x 2 + y 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = 4 y - 2 x cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 x sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Aplicando novamente a propriedade distribuitiva, vai ficar:

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = - 8 x y cos ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 8 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 - 4 x y sin ⁡ 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Portanto, ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y para todo x ,   y ∈ R 2 , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y

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