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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 4

4) Mostre que a função z = x e y + y e x é uma solução da equação

∂ 3 z ∂ x 2 + ∂ 3 z ∂ y 2 = x ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2 ∂ y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada a função z = x e y + y e x e queremos provar que essa função é solução da equação

∂ 3 z ∂ x 2 + ∂ 3 z ∂ y 2 = x ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2 ∂ y

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

De maneira mais direta temos que obter as derivadas de terceira ordem de z e substituir na equação e verificar se a igualdade será satisfeita.

Preparado? Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos começar derivando z em relação a x ...

∂ z ∂ x = ∂ x e y + y e x ∂ x = e y + y e x

Derivando o resultado em relação a x

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ e y + y e x ∂ x = y e x

E calculando a derivada de terceira ordem em relação a x

∂ 3 z ∂ x 3 = ∂ y e x ∂ x = y e x

Agora vamos fazer a mesma coisa para y ...

∂ z ∂ y = ∂ x e y + y e x ∂ y = x e y + e x

Calculando a derivada de segunda ordem

∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ x e y + e x ∂ y = x e y

E também a derivada de terceira ordem

∂ 3 z ∂ y 3 = ∂ x e y ∂ y = x e y

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas mistas...

Para obter ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 temos que derivar ∂ z ∂ x duas vezes com relação a y , ou seja

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ e y + y e x ∂ y = e y + e x

Calculando a segunda derivada...

∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 = ∂ e y + e x ∂ y = e y

Agora para obter ∂ 3 z ∂ x 2 ∂ y derivamos ∂ 2 z ∂ x 2 em relação a y .

∂ 3 z ∂ x 2 ∂ y = ∂ y e x ∂ y = e x

Substituindo esses resultados na equação diferencial, temos

∂ 3 z ∂ x 2 + ∂ 3 z ∂ y 2 = x ∂ 3 z ∂ x ∂ y 2 + y ∂ 3 z ∂ x 2 ∂ y

y e x + x e y = x e x + y e x

Como a igualdade foi satisfeita, então a função z = x e y + y e x é solução da EDO

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

É solução

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