Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Ver Teoria
Exercício 3412345678910111213141516171819202122232425262728293031323335363738

Enunciado

UFSC, Joinvile, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2016.2, Questão 2a

Verifique que u ( x ,   t )   =   ( x   −   a t ) ²   +   ( x   +   a t ) ³ satisfaz a equação do calor:

∂ ² u ∂ t ² = a ² ∂ ² u ∂ ² x

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente verificar que a função do tempo e da posição, u(x,t) satisfaz a equação diferencial parcial do calor, onde a derivada temporal segunda da função é proporcional a derivada segunda da posição, com uma constante de proporcionalidade a.

Bem, para verificar que essa função satisfaz a equação, vamos ter que calcular suas derivadas parciais segundas. Então vamos lá!

Passo 2

Para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis, consideramos uma das duas constantes e derivamos com relação a outra. Vamos começar derivando em relação ao tempo. Nesse caso a gente considera a posição x como constante. Assim, utilizando a regra da cadeia, obtemos:

∂ u ∂ t = - 2 a ( x - a t ) + 3 a ( x + a t ) ²

Derivando mais uma vez em relação à t, temos:

∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ² u ∂ t ² = 2 a ² + 6 a ² ( x + a t )

Agora, vamos calcular a derivada em relação à x, dessa vez considerando t como constante. Utilizando a regra da cadeia, obtemos

∂ u ∂ x = 2 ( x   −   a t ) +   3 ( x   +   a t ) ²  

Derivando mais uma vez em relação à x, encontramos:

∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ² u ∂ t ² = 2 +   6 ( x   +   a t )  

Dessa última expressão, vemos que, se multiplicarmos ele por a², obtemos

a ² ∂ ² u ∂ x ² = 2 a ² + 6 a ² ( x + a t )

Que é exatamente o que achamos para a derivada segunda de u em relação à t. Então, podemos escrever e, consequentemente provar que

2 a ² + 6 a ² ( x + a t ) = a ² [ 2 +   6 ( x   +   a t ) ]   ⇒   ∂ ² u ∂ t ² = a ² ∂ ² u ∂ x ²

Resposta

Demonstrado ao decorrer da questão.

Exercícios de Livros Relacionados

Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u x , t = f x + a t + g x - a t é solução da equação de onda dada no exercício 74.
Verifique que a função z = ln ⁡ e x + e y é uma solução das equações diferenciais ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 1 e ∂ 2 z ∂ x 2 ∙ ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = 0 ⏟ * * * *** Em algumas edições do livro do Ste
A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = 1 2 m v 2 . Mostre que ∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = K