UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - P2 - 2022.1 - Questão 4
Resolva o problema:
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
O enunciado nos indica uma equação diferencial parcial definida como
e apresenta condições de contorno sobre esta função, no ponto em que
Além disso, temos condições iniciais () para o sistema como
e, também temos uma condição inicial pra primeira derivada no tempo
E agora como podemos resolver esse problema?
Vamos tentar resolver este sistema utilizando o método de separação de variáveis! Onde propõem-se uma solução da forma
e, procuramos formatos para ambas as funções que obedeçam as condições estabelecidas em (1),(2), (3) e (4). Vamos lá!
Passo 2
O primeiro passo é substituir a equação (5) na equação (1), e para isso, vamos calcular as derivadas parciais necessárias
e, da mesma forma, temos que
Utilizando ambas expressões na equação (1), temos que
De forma que podemos separar as variáveis para obter a seguinte relação
Como fomos capazes de separar as variáveis vamos ser capazes de construir equações diferenciais independentes para cada função! Você lembra como é este processo? Saca só!
Passo 3
Primeiramente, se cada lado da equação (6) depende de apenas uma variável, podemos dizer que a cada lado da equação deve ser igual à uma mesma constante, ou seja, podemos estabelecer que
e, da mesma forma, temos que
Ambas equações podem ser reescritas em um formato mais familiar! Temos da equação (7) que
e, da equação (8), temos que
Ambas equações (9) e (10) são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, para a função e respectivamente. Vamos começar tentando resolver a equação (9). Se precisar procure dar uma relembrada em como tratamos este tipo de problemas! Vem comigo!
Passo 4
A solução de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem depende do formato de seu polinômio característico, das raízes deste polinômio e das condições iniciais.
Começando com a equação (9), teremos que avaliar as condições de contorno após obter soluções relacionadas ao seguinte polinômio
Existem três casos que devem ser considerados! Quando temos , e , cada caso irá nos dar um formato diferente para a função e iremos verificar cada caso individualmente e avaliar se alguma destas possibilidades nos dá soluções não triviais!
Para isso, precisamos primeiro encontrar condições iniciais para a equação de segunda ordem (9). O caminho a se seguir, é utilizar a equação (5) juntamente com as condições de contorno (2), temos que
Como temos que nos leva a solução , esta solução não é desejável, desta forma, podemos estabelecer a condição inicial como necessária para obtermos uma solução. Analogamente, temos que
de onde obtemos a condição . Tendo estas condições em mãos, vamos analisar os três casos individualmente!
Passo 5
Primeiro, quando temos que , isso nos leva a raízes da forma , e então, a uma solução da forma
Sob as condições iniciais e , nós obtemos duas equações para os coeficientes constantes, da seguinte maneira
e, também que
não existe solução para estas equações exceto a solução trivial . Portanto, esta não é uma boa escolha! Vamos tentar agora a escolha .
Passo 6
Temos que para , o polinômio característico nos dá raízes da forma
está é uma raíz de multiplicidade 2, e portanto, a solução pode ser escrita como
Aplicando as condições iniciais e , temos que
e, também temos que
De forma, que novamente, , e novamente, uma solução trivial, só nos resta uma alternativa! Vamos tentar !
Passo 7
Considerando iremos obter raízes da forma
Que nos resulta em uma solução da forma
Se aplicarmos novamente as condições iniciais, temos que
e também que
Em que nos dá a solução trivial! Mas, temos que nos dá um conjunto de soluções possíveis! Ou seja, temos que
Ou seja, temos uma solução da forma
Como apenas achamos uma solução não trivial para é válido encontramos a solução para utilizando apenas este caso, como a forma funcional da equação (10) é a mesma da equação (9), temos que a solução terá o mesmo formato! Vamos dar uma olhada nisso com calma!
Passo 8
Temos que a solução para será da forma
De forma que podemos escrever soluções da forma
Ou seja, temos que
Ou, pelo princípio da superposição, temos que
Vamos aplicar as condições iniciais sobre essa solução!
Passo 9
O enunciado nos dá que
Portanto, se derivarmos parcialmente a equação (13) no tempo, temos que
Aplicando a condição inicial, temos que
Se compararmos os argumentos das funções senos em ambos os lados, é notável que os únicos termos que não se anulam na soma do lado direito, são aqueles em que e , e é possível identificar que , ou seja, e , de forma que portanto. Vamos analisar agora a outra condição inicial!
Passo 10
O enunciado também nos dá a condição
Portanto, da equação (13), temos que
Que nos indica que , desta forma, nossa solução final toma a seguinte forma
E essa é a nossa resposta! Te vejo na próxima! Tchauzinho!