Dada a seguinte equação do da onda:

1. O método de seperação de variáveis supõe que a solução da equação da onda é . Usando esse método mostre como se chega ao sistema abaixo onde é a constante de separação. Analise os casos , e .
2. Substituindo os valores , e escolha a extensão par ou ímpar de período que resolve o problema em (a) encontrando a solução . Especifique os coeficientes dessa solução SEM calcular a integral.

Bom, brincadeiras de lado, agora que encontramos as derivadas, vamos substituir na EDP que rege o nosso problema. Com isto, temos:

Separando tudo que tem no primeiro membro de tudo que tem no segundo, temos:

A igualdade acima é bem interessante. No primeiro membro temos uma função apenas de . Já no segundo membro temos uma função de (lembrando que estamos considerando o coeficiente como uma constante!).

Isto implica que a equação acima só é verdade se ambos os membros forem iguais a uma constante (funções de variáveis distintas iguais entre si, só podem ser iguais a uma constante). Portanto, temos:

E agora simplificamos o nosso problema. Transformarmos uma EDP em duas EDO’s homogêneas.

Estamos quase chegando no sistema que a questão pede para demonstrarmos. Só nos resta determinarmos as condições de contorno. Para isto, temos:

Observem as equações acima, as quais consistem em um produto de funções igual a zero. Nelas, ou o termo é zero ou o termo será igual a zero.

Como queremos que a função não seja igual a zero para qualquer valor de ou de , temos que considerar os termos e diferentes de zero. Portanto, obtemos que:

Logo, essas são as nossas condições de contorno, e temos o seguinte sistema:

A única diferença deste sistema para o da questão é o sinal negativo nas duas EDO’s. Como não sabemos nada sobre o sinal de (é até a próxima discussão nossa), podemos dizer que (só trocar o sinal nas equações), e portanto,

E assim demonstramos como se chega no sistema da questão!

Nosso trabalho agora é resolvê-las utilizando as condições de contorno do enunciado do problema. Vamos começar resolvendo a EDO em relação a . Somente depois vamos partir para o caso da EDO em função de .

Com isto, temos o seguinte problema:

E quem é ? Ele é positivo? Ou nulo? Será se é negativo??? Está claro que nada sabemos sobre ele. Consequentemente, temos que testar todas as possibilidades!

OBS: podemos pensar que a questão está nos obrigando a verificar essas possibilidades, talvez este seja o maior estímulo...

Sendo assim, vamos as nossas hipóteses! A começar, temos .

Para este caso, a nossa equação característica se transforma em:

Como , a solução desta EDO possui a seguinte forma: .

Para descobrirmos os valores dos coeficientes e vamos utilizar as condições . Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

Ao resolvermos o sistema acima, vamos obter que . Esta solução é inviável, pois nos retornaria , independente do valor de , o qual foi o mesmo problema que tivemos no Passo 2, só que em relação a função .

Portanto, a EDP não tem solução para !

Agora vamos para a segunda! Vamos assumir que . E com isto, vamos repetir o mesmo procedimento da hipótese anterior. Só que, neste caso, a equação característica transforma em:

Como , a solução desta EDO possui a seguinte forma: . Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

Cuja solução é . Da mesma forma que ocorreu no Passo 3, esta solução é considerada inviável, pois nos retornaria .

Logo, a EDP não tem solução para .

Por fim, vamos para a última possibilidade. Vamos assumir que . E com isto, vamos repetir o mesmo procedimento. Neste caso, a equação característica transforma em:

Como , a solução desta EDO possui a seguinte forma: . Substituindo as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

Da primeira equação verificamos que . Com isto, a nossa segunda equação se torna:

E isto nos dá duas possibilidades: ou . É claro que a primeira possibilidade não nos interessa, pois teríamos , independente do valor de . Portanto, vamos verificar quais os valores de que satisfazem . Portanto, temos:

Sendo qualquer número inteiro. Com isto, o valor de é:

Guardem o valor de que vamos utilizar para solucionar a função ! Para a nossa função vamos finalizando por aqui. O que obtivemos foi:

E quem é essa constante ? Bom, na real, podemos desconsiderar ela por enquanto. Vamos trabalhar com as soluções fundamentais, as quais são da forma:

Bom, só nos resta agora encontrar a solução para a função (t). Para isto, vamos resolver a EDO de segunda ordem associada a ela, a qual é:

Cuja equação característica é:

E, como já vimos anteriormente, a sua solução é:

Precisamos aplicar agora as sua condição de contorno, . Isto nos da:

Portanto, a solução é:

Novamente, vamos trabalhar com as soluções fundamentais aqui. Portanto,

Então, para cada pertencente aos naturais, quando , temos a seguinte solução fundamental:

Por fim, a solução geral é obtida através de uma combinação linear das duas soluções fundamentais obtidas anteriormente. Portanto, a solução para a nossa EDP será:

E a letra a) está resolvida! Foi uma resolução bem grande, com muitos procedimentos. Mas no final, ela acabou sendo bastante repetitiva. Só devemos tomar muito cuidado para não errarmos nenhuma conta!

E para finalizarmos a questão, devemos resolver a letra b). Agora, só devemos indicar como que calcularemos o coeficiente que apareceu na solução da nossa EDP.

Aaah! Não podemos esquecer de substituir , e viu!!! Primeiro, vamos determinar a derivada e calcularmos . Logo,

Igualando , temos:

Então, os coeficientes são os coeficientes da série de Fourier em senos de (extensão ímpar). Portanto, ele será:

O que nos daria um trabalho calcular... Mas, para a nossa alegria, não precisamos calcular nada! Basta indicarmos como calcular ambos os coeficientes! Logo... finalizamos a questão!!!