UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 43c
Resolva o problema
Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.
c) .
Passo 1
Olá pessoal, como vocês estão?
Nessa questão temos o famoso problema de valor inicial da equação de onda, incluindo as condições de fronteira. Queremos resolvê-lo quando:
Vamos usar o método da separação de variáveis para primeiro desenvolver uma solução geral em função de e , e no final substituímos e pelo dado no enunciado para particularizar a nossa solução, beleza?
Esse tipo de questão dá um trabalhinho, mas vale muito a pena! Então vem comigo que vai ficar tudo claro 😊
Passo 2
Bom, pelo método de separação das variáveis, temos:
Daí:
Daí, substituindo na equação de onda:
Logo:
Daí:
e:
Logo, os auto-valores e as auto-funções (que não nos entregam apenas a solução trivial) valem:
e:
Voltando à EDO em , vem:
Logo, a solução formal da EDP vale:
Onde, pelas condições de contorno, vamos ter:
Excelente! Já encontramos a nossa solução 😉
Passo 3
Vamos substituir cada uma das funções dadas no item nessa expressão. Vamos ter:
Começando por , vamos usar que:
Substituindo na integral, vem que:
Como é inteiro, o argumento que multiplica dentro do seno é sempre inteiro. Logo:
Daí:
Passo 4
Vamos agora para . Temos:
Precisamos resolver a integral:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar. Como , temos que:
Ficamos só com o primeiro termo:
Daí, quando tivermos:
Podemos escrever:
Então, substituindo no termo dessa integral em , vem:
Perfeito!
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Vamo dar uma revisada:
No caso da nossa integral, vamos chamar:
Assim:
O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:
Temos:
Como , temos que:
Assim:
Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:
Como:
Então,
- Se par:
- Se ímpar:
Perfeito!
Logo, para o coeficiente para o termo relacionado a essa integral em , vamos ter:
- par:
- ímpar:
Daí, juntando esses dois termos em , vamos ter:
- par:
- ímpar:
Passo 6
Portanto, voltando para a solução formal da EDP, como:
Temos:
onde, se:
- par:
- ímpar:
Para calcular os dois primeiros harmônicos vamos tomar e .
Prontinho! Deu um trabalhooo... Mas terminamos!
Até a próxima pessoal 😊
Resposta
Resposta no texto.