Considere o problema de onda
Encontre a expressão do deslocamento vertical usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere .
Passo 1
Certo, o primeiro passo é a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
A primeira coisa que vamos fazer agora é escrever a equação característica:
Agora vamos encontrar as soluções da EDO para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.
Caso 1: , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Aqui temos o mesmo raciocínio:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos .
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: e
Bom, as duas condições de contorno nos dão a mesma informação, não é? Temos, então que
Isso para o autovalor
Como escrevemos, por convenção, as autofunções sem a constante multiplicativa, temos o seguinte:
Essa é uma solução da nossa EDO, e qualquer combinação linear de também.
Caso 3 :. Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
Isso ocorre para valores múltiplos de , ou seja, quando:
A solução geral do caso 3 é, então:
Temos, então, as seguintes soluções:
,
,
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 3
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
O que nos dá:
Para temos então:
Para o caso em que , temos:
Assim, como , podemos escrever
Passo 4
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Como combinações lineares dessas soluções também satisfazem o problema, podemos escrever:
Repare que nós colocamos coeficientes tanto na solução como na solução . Escrevemos nessa última para podermos reconhecer uma série de Fourier (de cossenos no caso).
Certo, agora precisamos achar esses coeficientes!
Vamos usar a condição que faltou:.
Como essa é uma Série de Fourier de cossenos, fazendo uma extensão par de da função podemos dizer que:
Temos também
Substituindo na série:
Tá, resposta suspeita né? Estranho o dar zero, mas fazer o que? É isso aí!