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Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

Questão 3: Encontre as soluções fundamentais (auto funções) para o seguinte problema (corda vibrante com extremidades livres):

α 2 u x x = u t t ,               0 < x < t ,     t > 0 u x 0 ,   t = 0               u x L ,   t = 0 ,     t > 0 u x ,   0 = x ,               u t x ,   0 = 0                                  

Passo 1

Então, talvez a gente consiga resolvê-la por separação:

u x ,   t = X x ⋅ T t

Se isso é solução, então...

u x x = X ' ' x ⋅ T t

u t t = X x ⋅ T ' ' t

Logo...

u t t = α 2 u x x     →

X x ⋅ T ' ' t = α 2 X ' ' x ⋅ T t →

T ' ' t α 2 T t = X ' ' x X x  

Essas duas funções diferentes variáveis só é igual se for uma constante λ :

T ' ' t α 2 T t = λ

E

X ' ' x X x = λ

Portanto, ganhamos duas EDOs:

X ' ' x = λ X x   T ' ' t = α 2 λ T t

Passo 2

Antes de resolvermos essas EDO’s temos que encontrar as condições de contorno e condições iniciais para sabermos por qual EDO começarmos. Vamos nessa!

Sabemos que pelas condições de contorno...

u x 0 ,   t = 0               u x L ,   t = 0

Como...

u x = X ' x T t             →

u x 0 ,   t = X ' 0 T t     →

Considerando T t diferente de 0 , pois se não temos a solução trivial u ≡ 0 ...

X ' 0 = 0

E

u x L ,   t = X ' L T t     →

X ' L = 0

Agora analisando as condições iniciais...

u t x ,   0 = 0     →

u = X x ⋅ T ' 0   →

T ' 0 = 0

Passo 3

Beleza, então veja que a EDO que temos mais informações é a de X ...

X ' ' x = λ X x X ' 0 = 0 X ' L = 0

Resolvendo essa EDO por Equação característica...

r 2 = λ       →           r = ± λ

Então se λ > 0 ...

X = c 1 e λ x + c 2 e - λ x

Substituindo as condições de contorno...

X ' = λ c 1 e λ x - λ c 2 e - λ x   :

X ' 0 = 0     →       λ c 1 - λ c 2 = 0     →

c 1 = c 2

X ' L = 0     →       λ c 1 e L λ - λ c 1 e - L λ = 0     →

c 1 = 0

Então essa solução é ruim! Vamos ver considerando λ = 0

X = c 1 + c 2 x   →

X ' = c 2 :

X ' 0 = 0     →         c 2 = 0

Logo...

X x = c 1

Está é uma solução possível! Segura ela aí!

E se...

λ < 0     →

X x = e 0 x ⋅ c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sin ⁡ λ x =

c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sin ⁡ λ x

Aplicando as condições agora...

X ' x = - c 1 λ sin ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x :

X ' 0 = - c 1 λ sin ⁡ 0 + c 2 λ cos ⁡ 0 = c 2 λ = 0     →

c 2 = 0

X ' L = - c 1 λ sin ⁡ L λ →

Considerando c 1 diferente de 0 , para o seno ser 0 , esse termo dele tem que ser múltiplo de π ...

L λ = m π   →

λ = m π L     →

λ = m 2 π 2 L 2

Como λ tem que ser negativo...

λ = - m 2 π 2 L 2

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X x = cos ⁡ m π L x

Passo 4

Fizemos muitas contas, mais quais são as conclusões do passo anterior antes de prosseguirmos?

Bem, basicamente encontramos uma solução possível quando λ = 0 :

X x = c 1

E também soluções quando λ = - m 2 π 2 L 2 < 0 :

X x = cos ⁡ m π L x

Passo 5

Com esses autovalores podemos procurar a solução dessa outra EDO aqui:

T ' ' t = α 2 λ T t     →

Considerando o lambda < 0 primeiro...

T ' ' t = - α 2 m 2 π 2 L 2 T t   →

Por equação característica:

r 2 = - α 2 m 2 π 2 L 2       →

r = ± i α 2 m 2 π 2 L 2     →

r = ± i α m π L     →

Então...

T m t = e 0 t A m cos ⁡ α m π L   t + B m sin ⁡ α m π L   t   →

T m t = A m cos ⁡ α m π L   t + B m sin ⁡ α m π L   t   →

Como do passo 2...

T m ' 0 = 0   →

T m ' t = - A m α m π L sin ⁡ α m π L   t + B m α m π L cos ⁡ α m π L   t   →

T m ' 0 = - A m α m π L sin ⁡ 0 + B m α m π L cos ⁡ 0   →

T m ' 0 = B m α m π L →

B m = 0

Agora considerando o lambda = 0 ...

T ' ' t = α 2 λ T t     →

T ' ' t = 0   →

Então...

T t = c 2 t + c 3

c o m o     T ' t = c 2 = 0

e n t ã o   T t = c 3

Passo 6

A solução para λ < então é:

u m x ,   t = X x ⋅ T m t =

u m x ,   t = A m cos ⁡ m π L x ⋅ cos ⁡ α m π L   t

Assim, as duas soluções fundamentais que ganhamos é...

u m x ,   t = cos ⁡ m π L x ⋅ cos ⁡ α m π L   t

E para λ = 0

u x ,   t = c

Resposta

  P a r a   λ = 0   →       u x ,   t = c                                                                                                                                    

  P a r a   λ < 0   →     u m x ,   t = cos ⁡ m π L x ⋅ cos ⁡ α m π L   t

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