Equação de onda, Séries de Fourier- funções pares e ímpares, Problemas de valores de contorno
Considere o problema de onda
Encontre a expressão do deslocamento vertical usando o método da separação de variáveis. Justifique sua resposta. Considere . (Sugestão: use a questão (2) com )
Passo 1
Certo, o primeiro passo é a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
Esse é o problema da questão fazendo , olha só:
Aplicando , sabemos que a resposta desse problema aqui é
,
,
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 3
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
O que nos dá:
Para temos então:
Para o caso em que , temos:
Assim, como , podemos escrever
Passo 4
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Como combinações lineares dessas soluções também satisfazem o problema, podemos escrever:
Repare que nós colocamos coeficientes tanto na solução como na solução . Escrevemos nessa última para podermos reconhecer uma série de Fourier (de cossenos no caso).
Certo, agora precisamos achar esses coeficientes!
Vamos usar a condição que faltou:.
Como essa é uma Série de Fourier de cossenos, fazendo uma extensão par de da função podemos dizer que:
Temos também
Substituindo na série:
Tá, resposta suspeita né? Estranho o dar zero, mas fazer o que? É isso aí!