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Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.4a

Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções u :   A   ⊆   ℝ 2 → ℝ , de classe 𝒞 2 , tais que u t t = c 2 u x x , onde x ∈   ℝ \   { 0 } . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

a . Mostre que a mudança de coordenadas ζ = x - c t e η = x + c t permite escrever a equação da onda na forma u ζ η = 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Bem, o que é realmente importante aqui é a equação diferencial

u t t = c 2 u x x

definida tal que u :   A   ⊆   ℝ 2 → ℝ , é de classe 𝒞 2 , em que x ∈   ℝ \   { 0 } . O que a alternativa pede é

a . Mostre que a mudança de coordenadas ζ = x - c t e η = x + c t permite escrever a equação da onda na forma u ζ η = 0 .

Ou seja, vamos fazer essa mudança de coordenadas em nossa equação de onda! E, usando a regra da cadeia escrevê-la em termos das novas coordenadas! Saca só!

Passo 2

Primeiro vamos ver a derivada parcial no tempo, temos que

u t = ∂ ∂ t [ u ( t , x ) ]

usando a regra da cadeia podemos expandir como

u t = ( ∂ ζ ∂ t ∂ ∂ ζ + ∂ η ∂ t ∂ ∂ η )   u = ∂ u ∂ ζ ∂ ∂ t [ x - c t ] + ∂ u ∂ η ∂ ∂ t [ x + c t ]

ou simplesmente

u t = c ∂ u ∂ η - c ∂ u ∂ ζ = c ( ∂ ∂ η - ∂ ∂ ζ )   u ( ζ , η )

a segunda derivada será então dada como

u t t = c ∂ ∂ t [ c ( ∂ ∂ η - ∂ ∂ ζ )   u ( ζ , η ) ] = c 2 [ ( ∂ ∂ η - ∂ ∂ ζ ) ] [ ( ∂ ∂ η - ∂ ∂ ζ ) ] u ( ζ , η )

distribuindo os termos, temos que

u t t = c 2 [ ∂ 2 ∂ η 2 - 2 ∂ 2 ∂ η ∂ ζ + ∂ 2 ∂ ζ 2 ] u ( ζ , η )

Podemos fazer o mesmo para a outra derivada!

Passo 3

Para a derivada em x , temos que

u x = ∂ ∂ x [ u ( t , x ) ]

usando a regra da cadeia podemos expandir como

u x = ( ∂ ζ ∂ x ∂ ∂ ζ + ∂ η ∂ x ∂ ∂ η )   u = ∂ u ∂ ζ ∂ ∂ x [ x - c t ] + ∂ u ∂ η ∂ ∂ x [ x + c t ]

ou simplesmente

u x = ∂ u ∂ η + ∂ u ∂ ζ = ( ∂ ∂ η + ∂ ∂ �� )   u ( ζ , η )

a segunda derivada será então dada como

u x x = ∂ ∂ x [ ( ∂ ∂ η + ∂ ∂ ζ )   u ( ζ , η ) ] = [ ( ∂ ∂ η + ∂ ∂ ζ ) ] [ ( ∂ ∂ η + ∂ ∂ ζ ) ] u ( ζ , η )

distribuindo os termos, temos que

u x x = [ ∂ 2 ∂ η 2 + 2 ∂ 2 ∂ η ∂ ζ + ∂ 2 ∂ ζ 2 ] u ( ζ , η )

Vamos usar os resultados em nossa equação diferencial!

Passo 4

Temos que a equação diferencial se torna

c 2 [ ∂ 2 ∂ η 2 - 2 ∂ 2 ∂ η ∂ ζ + ∂ 2 ∂ ζ 2 ] u ( ζ , η ) = c 2 [ ∂ 2 ∂ η 2 + 2 ∂ 2 ∂ η ∂ ζ + ∂ 2 ∂ ζ 2 ] u ( ζ , η )

Note que apenas os termos de derivadas mistas não se eliminam, restando

∂ 2 u ∂ η ∂ ζ = 0

Como queríamos demonstrar! Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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