Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções u : A ⊆ ℝ² → ℝ , de classe C^2 , tais que u_tt = c^2 * u_xx , onde x ∈ ℝ \ {0} . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.

b. Determine todas as soluções de u_{ζη} = 0 , concluindo que as soluções da equação original são da forma u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct) , onde f e g são funções reais duas vezes deriváveis.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Bem, o que é realmente importante aqui é a equação diferencial

u t t = c 2 u x x

definida tal que u :   A   ⊆   ℝ 2 → ℝ , é de classe 𝒞 2 , em que x ∈   ℝ \   { 0 } . O que a alternativa pede é

b . Determine todas as soluções de u ζ η = 0 , concluindo que as soluções da equação original são da forma u ( x , t ) = f ( x - c t ) + g ( x + c t ) , onde f e g são funções reais duas vezes deriváveis.

Na alternativa anterior mostramos que a equação diferencial poderia ser escrita como

∂ 2 u ∂ η ∂ ζ = 0

em que as coordenadas estão relacionadas pelas relações ζ = x - c t e η = x + c t . Para resolvermos esta equação diferencial vamos usar o método de separação de variáveis, em que iremos propor uma solução da forma

u ( ζ , η ) = ψ ( ζ ) ϕ ( η )

e então avaliar o formato das soluções! Saca só!

Passo 2

Usando a separação de variáveis em nossa solução, temos que

∂ 2 u ∂ η ∂ ζ = ∂ ∂ η [ ϕ ( η ) ] ∂ ∂ ζ [ ψ ( ζ ) ] = 0

resultado que obtemos pelo fato que ambas as partes das funções são independentes! Não queremos soluções triviais, portanto, precisamos que uma das soluções seja constante enquanto a outra é qualquer, por exemplo, se tomarmos que ψ ( ζ ) é qualquer, temos que

∂ ∂ η [ ϕ ( η ) ] = 0

Portanto, temos que

ϕ ( η ) = C 1

No entanto, a solução em que ϕ ( η ) é qualquer, temos que

∂ ∂ ζ [ ψ ( ζ ) ] = 0

e, portanto, temos que

ψ ( ζ ) = C 2

Bem… se ambas são soluções, então pelo princípio da superposição, temos que a soma de duas soluções é uma solução, então de maneira mais geral, temos que

u ( ζ , ϕ ) = C 1 ψ ( ζ ) + C 2 ϕ ( η )

usando as definições das coordenadas, temos que

u ( x , t ) = C 1 ψ ( x - c t ) + C 2 ϕ ( x + c t )

ou seja, demonstramos que

u ( x , t ) = f ( x - c t ) + g ( x + c t )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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