USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.4b
Neste exercício vamos explicar as soluções da equação da onda unidimensional, ou seja, determinar funções , de classe , tais que , onde . Este método foi descrito por Jean le Ron d’Alembert em torno de 1750.
Determine todas as soluções de , concluindo que as soluções da equação original são da forma , onde e são funções reais duas vezes deriváveis.
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
Bem, o que é realmente importante aqui é a equação diferencial
definida tal que , é de classe , em que . O que a alternativa pede é
Determine todas as soluções de , concluindo que as soluções da equação original são da forma , onde e são funções reais duas vezes deriváveis.
Na alternativa anterior mostramos que a equação diferencial poderia ser escrita como
em que as coordenadas estão relacionadas pelas relações e . Para resolvermos esta equação diferencial vamos usar o método de separação de variáveis, em que iremos propor uma solução da forma
e então avaliar o formato das soluções! Saca só!
Passo 2
Usando a separação de variáveis em nossa solução, temos que
resultado que obtemos pelo fato que ambas as partes das funções são independentes! Não queremos soluções triviais, portanto, precisamos que uma das soluções seja constante enquanto a outra é qualquer, por exemplo, se tomarmos que é qualquer, temos que
Portanto, temos que
No entanto, a solução em que é qualquer, temos que
e, portanto, temos que
Bem… se ambas são soluções, então pelo princípio da superposição, temos que a soma de duas soluções é uma solução, então de maneira mais geral, temos que
usando as definições das coordenadas, temos que
ou seja, demonstramos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!