Equação de onda
Resolva o PVIF (problema de valor inicial e de fronteira)
pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Já deu pra reconhecer que é a equação de onda, né? Melhor ainda, aqui o . Vamos seguir então!
Com a separação, teremos:
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em , mas ambas com a mesma ‘cara’):
Passo 2
Agora, vamos olhar para as condições iniciais:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Analogamente, de , tiramos:
Passo 3
Vamos olhar para a variável , primeiro. Ela forma o seguinte problema
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
E a solução geral é da forma
Passo 4
Derivando e aplicando as condições de contorno:
Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra
Passo 5
Como queremos , basta fazer , de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!
Portanto, ficamos com
que são nada mais nada menos que nossas autofunções!
Passo 6
Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :
Como a cara é a mesma da equação em , temos:
Mas não se esqueça da condição : . Logo,
Portanto:
E, assim, uma solução deve ser (vamos deixar só uma constante por enquanto)
Passo 7
Note que se qualquer é solução, então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de ) também é solução. Podemos escrever
Finalmente, vamos olhar para a condição . O que ela diz?
Mas é uma constante que pode ser absorvida. Logo:
Mas lembre que . Só que se fizermos , teremos:
De modo que são os coeficientes da própria série de Fourier. Assim,
Resposta