UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 50f
Determina as soluções de
Nos casos seguintes:
Passo 1
E aí genteeee, tudo na paz por aí?
Nessa questão recebemos a EDP conhecida como equação da onda, e precisamos determinar as soluções para cada um dos problemas de valor inicial dados.
Temos a EDP:
Com as condições iniciais:
Pra resolver esse problema tem uma receitinha de bolo que precisamos seguir. Vamos dar uma revisada rápida:
Usar o método da separação de variáveis para obter as EDO’s separadas em e , onde:
Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno e substituir o valor de encontrado na outra EDO.
Fazer a combinação linear das soluções obtidas
Obter os coeficientes resolvendo as séries de Fourier das condições iniciais
É galera... dá um trabalho bom mesmo! Mas vamos dar o gás que acabamos rapidinho
Passo 2
Começando pelo método de separação de variáveis, façamos:
Então:
Substituindo na EDP:
Logo:
Daí, temos duas EDO’s:
Massa! Vamos analisar algumas condições de contorno do nosso problema.
Como se trata da equação da onda, vamos considerar que as extremidades estão fixas (embora não tenha sido dado no enunciado, essa informação é fundamental pra continuarmos resolvendo nosso probleminha).
Assim:
Como separamos a função , temos:
Para fugir da solução trivial (isto é, constante e igual a ), ficamos com:
Analogamente, teremos também:
Daí, podemos montar o seguinte PVI em :
E:
Vamos resolver primeiro o PVI, depois que descobrirmos o valor de substituímos na EDO em para encontrar a sua solução.
Passo 3
A EDO nos dá a equação característica:
Os casos nos dará a solução trivial, que não estamos interessados. Daí, vamos considerar o caso . Ficamos com:
Como:
Temos:
Como , temos:
Logo:
Muito bom! Temos então a solução particular:
Substituindo esse resultado na EDO em , vamos ter que:
Excelente!
Aí agora, pra escrevermos a solução formal da equação da onda, basta considerarmos a combinação linear das soluções particulares que encontramos.
Ou seja:
Muito bom!
Passo 4
Mas quem é e ?
Então, pra determinarmos esses coeficientes vamos finalmente usar as condições iniciais dadas no problema. Como:
Substituindo na nossa solução formal, temos que:
Logo, como isso precisa ser verdade pra qualquer valor de , temos que:
Perfeito!
Substituindo agora a outra condição de contorno, vamos ter que:
Derivando a solução formal da EDP com relação a , temos:
Fazendo , ficamos com:
Novamente, percebendo a semelhança com a série de Fourrier, vamos ter que o coeficiente que multiplica o seno é dado por:
Logo:
Excelente! Agora é só calcularmos .
Passo 5
Agora vamos calcular . Temos:
Podemos usar uma fórmula trigonométrica bem importante pra melhorar a nossa integral:
Substituindo, temos:
A primeira integral é tranquilinha de resolver, já a segunda é um pouco mais chatinha.
Vamos precisar usar que:
Daí, temos que:
Substituindo em ficamos com:
Para a primeira integral, temos:
Para a segunda integral:
E, por fim, na última integral vamos ter:
Perfeito! Aí agora é só juntar os resultados em :
Muito bom!
Passo 6
Pra finalizar, vamos juntar tudo que encontramos até agora porque sei que teve bastaaaaante informação.
Vimos que a solução formal da EDP, como é dada por:
Sobre esse coeficiente, usando as séries de Fourrier, calculamos que:
E é isso pessoal! Prontinho 😊
Muito obrigado pela atenção de vocês!