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Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 49a

Verifique que para qualquer valor de λ , a função u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x ) satisfaz a equação da onda unidimensional ∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos a famosa equação de onda em apenas uma dimensão, que é dada por:

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u

Queremos provar que a função:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

É solução da EDP independentemente do valor que λ assumir.

Sendo assim, vamos calcular as segundas derivadas parciais de u ( x , t ) com relação a x e também com relação a t . Depois, verificamos se a igualdade é verdadeira.

Vem comigo 😊

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial com relação a t . Temos:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )    

Derivando com relação a t , o termo:

s e n ( λ x )

Funciona como uma constante. Assim, ficamos com:

∂ t u = s e n λ x ⋅ d cos ⁡ λ c t d t

= s e n λ x ⋅ - λ c ⋅ s e n λ c t

=   - λ c ⋅ s e n λ x ⋅ s e n ( λ c t )

Derivando mais uma vez, temos:

∂ t 2 u = - λ c ⋅ s e n λ x ⋅ d s e n λ c t d t

=   - λ c ⋅ s e n λ x ⋅ λ c ⋅ cos ⁡ λ c t

Portanto:

∂ t 2 u = - λ 2 c 2 ⋅ s e n λ x ⋅ c o s ⁡ ( λ c t )

Massa!

Passo 3

Vamos agora verificar a derivada parcial com relação a x .

Temos que:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

Agora o termo:

c o s ⁡ ( λ c t )

funciona como uma constante. Daí:

∂ x u = cos ⁡ λ c t ⋅ d s e n λ x d x

= cos ⁡ λ c t ⋅ λ cos ⁡ λ x

Derivando mais uma vez:

∂ x 2 u = λ cos ⁡ λ c t ⋅ d cos ⁡ λ x d x

= - λ 2 cos ⁡ λ c t ⋅ s e n ( λ x )

Excelente!

Passo 4

Por fim, podemos verificar a igualdade.

Encontramos que:

∂ t 2 u = - λ 2 c 2 ⋅ s e n λ x ⋅ c o s ⁡ ( λ c t ) ∂ x 2 u = - λ 2 cos ⁡ λ c t ⋅ s e n ( λ x )

Daí, como a EDP dada no enunciado é:

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u

Temos que:

- λ 2 c 2 ⋅ s e n λ x ⋅ c o s ⁡ ( λ c t )

De fato, é igual a:

c 2 ⋅ - λ 2 cos ⁡ λ c t ⋅ s e n λ x

Portanto, a função dada é uma solução da EDP 😊

Valeeeu pessoal!

Resposta

Resposta no texto.

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