Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria
Exercício 21123456789101112131415161718192022232425262728293031323334353637383940414243

Enunciado

Questão 3: Resolva o problema de valor inicial

u x x - u t t = 0                                           ,   0 < x < π ,   t > 0 u 0 ,   t = u π ,   t = 0             ,   t ≥ 0                                         u x , 0 = x ,     u t x ,   0 = 0             , 0 ≤ x ≤ π                      

Passo 1

Pow, esse problema se parece muito com problema clássico de cordas, não é verdade? Onde temos sempre algo assim:

a 2 u x x = u t t

u 0 ,   t = u L ,   t = 0

u t x ,   0 = 0

u x ,   0 = f x

Quando acontece isso, a cara da solução é dada por:

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n π x L cos ⁡ n π a t L  

No nosso caso...

1 2 u x x = u t t

u 0 ,   t = u π ,   t = 0

u t x ,   0 = 0

u x ,   0 = x

Então...

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n π x L cos ⁡ n π a t L   →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n π x π cos ⁡ n π t π   →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n x cos ⁡ n t  

Passo 2

Tá, mas agora quem é c n ? Substituindo então a condição que a gente não usou até agora...

u x ,   0 = x =

∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n x cos ⁡ n ⋅ 0 =

∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n x

Então veja que Esse problema é o de Fourier na verdade e encontrar c n é encontrar os coeficientes de Fourier da função f x = u x ,   0 :

c n = 2 L ∫ 0 L u x ,   0 sin ⁡ n x   →

c n = 2 π ∫ 0 π x sin ⁡ n x  

Então podemos calcular essa integral utilizando integração por partes. Vamos nessa?

Passo 3

Calculando d u e v ...

u = x                   e                 d v = sin ⁡ n x d x

d u = d x                   e                 v = - cos ⁡ n x n

Logo...

c n = 2 π ∫ 0 π x sin ⁡ n x =

2 π - x cos ⁡ n x n - ∫ - cos ⁡ n x n d x 0 π =

2 π - x cos ⁡ n x n + 1 n ∫ cos ⁡ n x d x 0 π =

2 π - x cos ⁡ n x n + 1 n sin ⁡ n x n 0 π =

2 π - π cos ⁡ n π n + 1 n 2 sin ⁡ n π - - 0 cos ⁡ 0 n + 1 n 2 sin ⁡ 0 =

2 π - π cos ⁡ n π n =

Como

cos ⁡ n π = - 1 ,   1 ,   - 1         p a r a         n = 1 ,   2 ,   3 …

cos ⁡ n π = - 1 n

2 π - π - 1 n n =

2 n - 1 n + 1

Então concluímos que...

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ c n sin ⁡ n x cos ⁡ n t   →

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n + 1 sin ⁡ n x cos ⁡ n t

Resposta

u x ,   t = ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1 n + 1 sin ⁡ n x cos ⁡ n t

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no