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Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 49b

Utilize a identidade c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ] para escrever u como superposição de ondas viajando à esquerda e à direita com velocidade c .

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Nessa questão, vimos no item anterior que a função:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

É solução da equação da onda, dada por:

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u

Agora o enunciado nos pede pra manipular matematicamente a função u ( x , t ) pra chegar que ela pode ser escrita como a superposição de ondas viajando em sentidos opostos, com velocidade c .

Para isso, nos é dada a seguinte equação trigonométrica:

c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ]

Show de bola!

Vamos usar essa igualdade para reescrever u e a partir disso interpretar o resultado encontrado.

Passo 2

Bom, vimos que:

u x , t = cos ⁡ λ c t s e n ( λ x )

Daí, como queremos usar a igualdade:

c o s β s e n α = 1 2 [ s e n α + β + s e n α - β ]

Vamos chamar:

β = λ c t α = λ x

Daí:

cos ⁡ λ c t s e n λ x

= 1 2 s e n λ c t + λ x + s e n λ x - λ c t

Colocando λ em evidência dentro do argumento da função, temos:

u x , t =   1 2 s e n λ ( x + c t ) + s e n λ ( x - c t )

Olha que legal! Conseguimos escrever u como a soma de duas funções:

u 1 x , t = 1 2 s e n ( λ x + c t )

u 2 x , t = 1 2 s e n λ x - c t

Essas funções representam justamente ondas caminhantes onde o termo que multiplicar o tempo t é a velocidade.

Assim, em u 1 temos a velocidade igual a + c , enquanto em u 2 a velocidade vale - c , indicando que a onda se movimenta em sentido oposto à primeira.

E aí, conseguiram entender?

Tamo junto pessoal até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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