UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.2, Questão 4
Use separação de variáveis para encontrar a solução da seguinte equação da Onda.
Passo 1
Temos aqui um problema de equação de onda na forma:
Com . OK, vamos começar, como sempre, pela separação de variáveis. Procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na equação de onda, temos:
Passando tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, temos:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Temos também
Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, , esquece ela por enquanto.
Precisamos agora achar e , para encontrar .
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
Para resolver essa EDO de segunda ordem temos que primeiro montar a equação característica que fica.
Agora temos que testar cada caso do problema de valor de contorno.
Caso :
Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Como o que está dentro dos parênteses é diferente de zero, temos:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 3
Caso
Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada ¬¬ Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Passo 4
Caso
Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Assim, teremos
Com isso ou teremos , que nos dá outra solução trivial ou
Como não queremos soluções triviais vamos ter.
Onde
Certo, agora vamos resolver o problema em .
Passo 5
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior) e é um coeficiente dado, não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Usando , temos:
Fazendo
Temos então:
Então, podemos escrever o seguinte:
Passo 6
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Sabemos que uma combinação linear dessas soluções também satisfaz o problema, então vamos escrever:
Podemos interpretar essa série como uma combinação linear infinita de ’s.
Beleza, agora precisamos usar a condição do problema que deixamos de lado: . Fazendo , temos:
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Passo 7
Vamos resolver essa integral agora
Vamos lembrar que
Então nossa integral fica
Vamos considerar porque quando integrarmos aqueL não pode dar
Em ambos os senos o nosso valor vai ser
Falta testar
Assim, a nossa solução aparece apenas em