UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 50c
Determina as soluções de
Nos casos seguintes:
Passo 1
Faaaaaala galerinha, como vocês estão?
Nessa questão recebemos a EDP conhecida como equação da onda, e precisamos determinar as soluções para cada um dos problemas de valor inicial dados.
Temos a EDP:
Com as condições iniciais:
Pra resolver esse problema tem uma receitinha de bolo que precisamos seguir. Vamos dar uma revisada rápida:
Usar o método da separação de variáveis para obter as EDO’s separadas em e , onde:
Resolver a EDO que tiver duas condições de contorno e substituir o valor de encontrado na outra EDO.
Fazer a combinação linear das soluções obtidas
Obter os coeficientes resolvendo as séries de Fourier das condições iniciais
É galera... dá um trabalho bom mesmo! Mas vamos dar o gás que acabamos rapidinho
Passo 2
Começando pelo método de separação de variáveis, façamos:
Então:
Substituindo na EDP:
Logo:
Daí, temos duas EDO’s:
Massa! Vamos analisar algumas condições de contorno do nosso problema.
Como se trata da equação da onda, vamos considerar que as extremidades estão fixas (embora não tenha sido dado no enunciado, essa informação é fundamental pra continuarmos resolvendo nosso probleminha).
Assim:
Como separamos a função , temos:
Para fugir da solução trivial (isto é, constante e igual a ), ficamos com:
Analogamente, teremos também:
Daí, podemos montar o seguinte PVI em :
E:
Vamos resolver primeiro o PVI, depois que descobrirmos o valor de substituímos na EDO em para encontrar a sua solução.
Passo 3
A EDO nos dá a equação característica:
Os casos nos dará a solução trivial, que não estamos interessados. Daí, vamos considerar o caso . Ficamos com:
Como:
Temos:
Como , temos:
Logo:
Muito bom! Temos então a solução particular:
Substituindo esse resultado na EDO em , vamos ter que:
Excelente!
Aí agora, pra escrevermos a solução formal da equação da onda, basta considerarmos a combinação linear das soluções particulares que encontramos.
Ou seja:
Muito bom!
Passo 4
Mas quem é e ?
Então, pra determinarmos esses coeficientes vamos finalmente usar as condições iniciais dadas no problema. Como:
Substituindo na nossa solução formal, temos que:
Logo, como isso precisa ser verdade pra qualquer valor de , temos que:
Perfeito!
Substituindo agora a outra condição de contorno, vamos ter que:
Derivando a solução formal da EDP com relação a , temos:
Fazendo , ficamos com:
Novamente, percebendo a semelhança com a série de Fourrier, vamos ter que o coeficiente que multiplica o seno é dado por:
Logo:
Resolvendo essa integral, temos que:
Então, se:
- par:
- ímpar:
Excelente!
Passo 5
Pra finalizar, vamos juntar tudo que encontramos até agora porque sei que teve bastaaaaante informação.
Vimos que, como , a solução formal da EDP é dada por:
Mas, para par . E, para ímpar:
Assim, podemos reescrever como:
Prontinho pessoal! Conseguimos finalizar mais uma questão 😊
Obrigado pela atenção de vocês!