Usando o método de separação de variáveis, resolva a equação da onda abaixo:
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em , mas ambas com a mesma ‘cara’):
Passo 2
Agora, vamos olhar para as condições iniciais:
De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .
Neste caso, nos resta admitir o seguinte:
Analogamente, de , tiramos:
Passo 3
Vamos olhar para a variável , primeiro. Ela forma o seguinte problema
Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:
Vamos testar cada um dos casos agora.
Passo 4
Caso
Nesse caso a solução será
Substituindo as condições iniciais
Logo esse caso só dá a solução trivial, .
Passo 5
Caso
Nesse caso a solução será
Usando as condições iniciais
Como não existe que faça teremos
Logo esse caso só dá a solução trivial.
Passo 6
Caso
Nesse caso a solução será
Aplicando as condições de contorno
Para não termos outra solução trivial temos que.
Passo 7
Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :
Como a cara é a mesma da equação em , temos:
Mas não se esqueça da condição : . Logo,
Portanto:
E, assim, uma solução deve ser (vamos deixar só uma constante por enquanto)
Passo 8
Como será uma solução para qualquer , podemos dizer que a combinação das funções também será uma solução.
Finalmente, vamos olhar para a condição . O que ela diz?
Disso teremos
Passo 9
Podemos notar que temos uma série de Fourier em senos nessa questão e devemos agora encontrar os coeficientes. Lembrando das fórmulas:
No nosso caso teremos
Resolvendo essa integral teremos
Logo a solução geral será