Use o Método de D’Alembert para encontrar a solução do problema.

16 u x x x ,   t = u t t x ,   t , - ∞ < x ,   t < ∞

  u x ,   0 =   s e n 2 x , - ∞ <   x < ∞ ,

  u t x ,   0 =   c o s   2 x ,   - ∞ <   x < ∞ .

Passo 1

Primeiro, vamos lembrar a fórmula marota do Método de D’Alembert.

u x ,   t = 1 2 f x + a t + f ( x - a t ) + 1 2 a ∫ x - a t x + a t g s d s  

Nesse caso

a = 4

f x = s e n 2 x

g x = c o s 2 x

Passo 2

Aplicando a fórmula...

u x ,   t = 1 2 s e n 2 ( x + 4 t ) + s e n 2 ( x - 4 t ) + 1 8 ∫ x - 4 t x + 4 t c o s 2 s d s = 1 2 s e n 2 ( x + 4 t ) + s e n 2 ( x - 4 t ) + 1 16 s e n 2 x + 4 t - s e n 2 x - 4 t =   9 16 s e n 2 x + 4 t + 7 16 s e n 2 x - 4 t

Assim, a solução fica:

u x ,   t = 9 16 s e n 2 x + 4 t + 7 16 s e n 2 x - 4 t

Resposta

u x ,   t = 9 16 s e n 2 x + 4 t + 7 16 s e n 2 x - 4 t

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