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Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 43b

Resolva o problema

∂ t 2 u = c 2 ∂ x 2 u ,     0 ≤ x ≤ L ,   t > 0 ; u 0 , t = 0 ,     u L , t = 0 ,     t ≥ 0 ; u x , 0 = f x ,     ∂ t u x , 0 = g x ,     0 ≤ x ≤ L

Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.

b) f x = 0 ,     g x = x ⋅ cos ⁡ x ,   L = π 2 .

Passo 1

Olá gente, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos o famoso problema de valor inicial da equação de onda, incluindo as condições de fronteira. Queremos resolvê-lo quando:

f x = 0

g x = x ⋅ cos ⁡ x

L = π 2

Vamos usar o método da separação de variáveis para primeiro desenvolver uma solução geral em função de f ( x ) e g ( x ) , e no final substituímos f ( x ) e g ( x ) pelo dado no enunciado para particularizar a nossa solução, beleza?

Esse tipo de questão dá um trabalhinho, mas vale muito a pena! Então vem comigo que vai ficar tudo claro 😊

Passo 2

Bom, pelo método de separação das variáveis, temos:

u x , t = p x ⋅ q ( t )

Daí:

u t t = q ' ' t p ( x )

u x x = p ' ' x q ( t )

Daí, substituindo na equação de onda:

p x ⋅ q ' ' x - c 2 p ' ' x ⋅ q t = 0

Logo:

q ' ' ( t ) c 2 q t = p ' ' x p x = λ

Daí:

q ' ' t - λ c 2 g t = 0

e:

p ' ' x - λ p x = 0 p 0 = p L = 0   ( c o n d i ç õ e s   d e   c o n t o r n o )

Logo, os auto-valores e as auto-funções (que não nos entregam apenas a solução trivial) valem:

λ n =   - n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , 3 , …

e:

p n x = s e n n π x L ,     n = 1,2 , 3 , …

Voltando à EDO em g ( t ) , vem:

g n t = A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L ,         n = 1,2 , 3 , …

Logo, a solução formal da EDP vale:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ A n cos ⁡ n π c t L + B n s e n n π c t L s e n n π x L

Onde, pelas condições de contorno, vamos ter:

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L f x s e n n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 , …

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 L g x s e n n π x L d x ,     n = 1,2 , 3 , …

Excelente! Já encontramos a nossa solução 😉

Passo 3

Vamos então substituir os valores de f ( x ) e de g ( x ) :

f x = 0

g x = x ⋅ cos ⁡ x

L = π 2

Logo, a nossa solução se resume a:

A n = 2 L ⋅ ∫ 0 L f x s e n n π x L d x = 0

Então:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ B n s e n n π c t L s e n n π x L

Onde:

B n = 2 n π c ⋅ ∫ 0 L x c o s ( x ) s e n n π x L d x ,     n = 1,2 , 3 , …

Beleza! Então nossa missão agora se resume a resolver a integral acima!

Para resolvê-la podemos usar que:

cos ⁡ x s e n n π x L = 1 2 ⋅ s e n x n π L + 1 + s e n x n π L - 1

Daí, temos:

B n = 2 n π c ⋅ 1 2 ⋅ ∫ 0 L x s e n x n π L + 1 d x + ∫ 0 L x s e n x n π L - 1 d x

Como L = π 2 , ficamos com:

B n = 1 n π c ⋅ ∫ 0 π 2 x s e n x 2 n + 1 d x + ∫ 0 L x s e n x 2 n - 1 d x

Beleza, precisamos resolver cada uma dessas integrais.

Passo 4

Vamos começar pela integral:

∫ 0 π 2 x s e n x 2 n + 1 d x

Usando o método de integração por partes, temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Daí, vamos ter:

u = x

v = s e n ( x 2 n + 1 )

Logo:

∫ 0 π 2 x s e n x 2 n + 1 d x = [ - 1 2 n + 1 x c o s x 2 n + 1 0 π 2 + 1 2 n + 1 ∫ 0 π 2 cos ⁡ x 2 n + 1 d x

= 1 2 n + 1 ⋅ 1 2 n + 1 ⋅ s e n x 2 n + 1 0 π 2

= - 1 n 2 n + 1 2

Perfeito! Então, para a primeira integral temos:

∫ 0 π 2 x s e n x 2 n + 1 d x = - 1 n 2 n + 1 2

Para a segunda integral, também usando o método de integração por partes, vamos ter:

∫ 0 π 2 x s e n x 2 n - 1 d x

Fazendo:

u = x

v = s e n ( x 2 n - 1 )

Vem que:

∫ 0 π 2 x s e n x 2 n - 1 d x = [ - 1 2 n - 1 x c o s x 2 n - 1 0 π 2 + 1 2 n - 1 ∫ 0 π 2 cos ⁡ x 2 n - 1 d x

= 1 2 n - 1 ⋅ 1 2 n - 1 ⋅ s e n x 2 n - 1 0 π 2

= - 1 n + 1 2 n - 1 2

Juntando novamente as duas integrais vamos ter:

B n = 1 n π c ⋅ ∫ 0 π 2 x s e n x 2 n + 1 d x + ∫ 0 L x s e n x 2 n - 1 d x

= 1 n π c ⋅ - 1 n 2 n + 1 2 + - 1 n + 1 2 n - 1 2

B n = - 1 n n π c ⋅ 1 2 n + 1 2 - 1 2 n - 1 2

Excelente!

Daí, voltando para a solução formal, temos:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n π c ⋅ 1 2 n + 1 2 - 1 2 n - 1 2 s e n 2 n c t s e n 2 n x

É isso gente!

Espero que todos tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😊

Resposta

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n π c ⋅ 1 2 n + 1 2 - 1 2 n - 1 2 s e n 2 n c t s e n 2 n x

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