UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 43e
Resolva o problema
Nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitude dos dois primeiros harmônicos que aparecem na solução.
e)
Passo 1
E aí galera, tudo certinho?
Nessa questão temos o famoso problema de valor inicial da equação de onda, incluindo as condições de fronteira. Queremos resolvê-lo quando:
Vamos usar o método da separação de variáveis para primeiro desenvolver uma solução geral em função de e , e no final substituímos e pelo dado no enunciado para particularizar a nossa solução, beleza?
Esse tipo de questão dá um trabalhinho, mas vale muito a pena! Então vem comigo que vai ficar tudo claro 😊
Passo 2
Bom, pelo método de separação das variáveis, temos:
Daí:
Daí, substituindo na equação de onda:
Logo:
Daí:
e:
Logo, os auto-valores e as auto-funções (que não nos entregam apenas a solução trivial) valem:
e:
Voltando à EDO em , vem:
Logo, a solução formal da EDP vale:
Onde, pelas condições de contorno, vamos ter:
Excelente! Já encontramos a nossa solução 😉
Passo 3
Precisamos então calcular e usando e dados no enunciado.
Começando por , temos:
Logo, se .
Se ímpar:
Ou, podemos escrever ainda para qualquer
Massa!
Passo 4
Agora vamos pensar em .
Como :
onde:
Então, vamos dividir a integral de em três partes:
Vamos então calcular cada uma dessas integrais:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Analogamente, para a integral:
Já para as outras integrais, que são mais simples, temos:
E:
Substituindo todas essas novas informações em , ficamos com:
Passo 5
Voltando para a solução formal da EDP, temos:
onde:
E:
Prontinhooo! Essa é a resposta.
Curtiram a solução? Responde Aí!
Resposta
Resposta no texto.