Determine a solução do problema
Passo 1
a)
A primeira coisa que temos que fazer é achar a solução do problema
Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então
Substituindo na EDP temos
Agora vamos passar tudo com para um lado e o que tem no outro
Essa igualdade vale para todo e para todo , assim precisa ser uma constante. Podemos separar isso em duas equações
Agora vamos ver as condições do problema,
Então temos
Passo 2
Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo na segunda equação
E
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim temos
E a nossa solução vai ser
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de
Assim vamos ter
E
Assim vamos ter, pela primeira equação, como
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial, que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Passo 3
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
Substituindo o valor de , temos:
Assim, temos que:
Passo 4
Vamos juntar as soluções de e para termos as soluções de , vamos juntar todas as constantes e chamar de ou , assim vamos ter
Passo 5
Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das , temos que
Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter
Calculando a derivada em de
Assim temos
Opa, precisamos achar esse e esse ! Como vamos fazer isso? Temos que usar a série de Fourier. Tá vendo que a expressão acima é igualzinha a série de Fourier em cossenos da ? Então, os coeficientes vão ser calculados por
Lembra que nosso , então
Então se for impar e assim o vai para 0.
Se for par, e temos que .
Assim, nossa solução é