Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Equação da Onda

Ver Teoria
Exercício 24123456789101112131415161718192021222325262728293031323334353637383940414243

Enunciado

Questão 3: Resolva o problema:

16 u x x = u t ,                               0 < x < 2 ,       t > 0   u x 0 ,   t = 0 ,   u x 2 ,   t = 0                         t ≥ 0 u x ,   0 = f x                                               0 ≤ x < 2 ,

Se a função f x é dada por

f x = - 1 ,         0 ≤ x < 1 ,   1 ,         1 ≤ x < 2

Passo 1

Então, talvez a gente consiga resolvê-la por separação:

u x ,   t = X x ⋅ T t

Se isso é solução, então...

u x x = X ' ' x ⋅ T t

u t = X x ⋅ T ' t

Logo...

16 u x x = u t   →

16 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t →

16 X ' ' x X x = T ' t T t →

Essas duas funções diferentes variáveis só é igual se for uma constante λ :

16 X ' ' x X x = T ' t T t = λ

Então...

16 X ' ' x X x = λ

E

T ' t T t = λ

Portanto, ganhamos duas EDOs:

X ' ' x = λ 16 X x   T ' t = λ T t      

Passo 2

Antes de resolvermos essas EDO’s temos que encontrar as condições de contorno e condições iniciais para sabermos por qual EDO começarmos. Vamos nessa!

Sabemos que pelas condições de contorno...

u x 0 ,   t = 0 ,   u x 2 ,   t = 0  

Como

u x ,   t = X x ⋅ T t       →

u x x ,   t = X ' x T t

Então...

u x 0 ,   t = 0   →       X ' 0 T t = 0   →       l o g o …

X ' 0 = 0

E

u x 2 ,   t = 0   →       X 2 T t = 0   →       l o g o …

X 2 = 0

Passo 3

Beleza, então veja que a EDO que temos mais informações é a de X ...

X ' ' x = λ 16 X x   X ' 0 = 0 X ' 2 = 0      

Resolvendo essa EDO por Equação característica...

r 2 = λ 16       →           r = ± λ 16 = ± 1 4 λ

Então se λ > 0 ...

X = c 1 e 1 4 λ x + c 2 e - 1 4 λ x

Derivando para substituir as condições de contorno...

X ' = 1 4 c 1 λ e 1 4 λ x - 1 4 c 2 e - 1 4 λ x

Substituindo as condições de contorno:

X ' 0 = 1 4 c 1 λ - 1 4 c 2 λ = 0

c 1 = c 2

E...

X ' 2 = 1 4 c 1 λ e 1 2 λ - 1 4 c 1 e - 1 2 λ = 0     →

Como as exponenciais não são nulas...

c 1 = 0       e   c 2 = c 1 = 0

Então essa solução é ruim! Vamos ver considerando λ = 0

X = c 1 + c 2 x   →

X ' 0 = 0     →         c 1 = 0

X ' 2 = 0     →           c 1 = 0

Também não queremos a solução constante! Logo, a única opção que sobrou pra gente é...

λ < 0     →

X x = e 0 x ⋅ c 1 cos ⁡ 1 4 λ x + c 2 sin ⁡ 1 4 λ x =

c 1 cos ⁡ 1 4 λ x + c 2 sin ⁡ 1 4 λ x

Aplicando as condições agora...

X ' 0 = 0         →           X ' x = - 1 4 λ c 1 sin ⁡ 1 4 λ x + 1 4 λ c 2 cos ⁡ 1 4 λ x   →

X ' 0 = - 1 4 λ c 1 sin ⁡ 0 + 1 4 λ c 2 cos ⁡ 0 = 0   →

X ' 0 = 1 4 λ c 2 = 0   →

c 2 = 0

E

X ' 2 = 0         →             X ' 2 = - 1 4 λ c 1 sin ⁡ 1 2 λ = 0

Considerando c 1 diferente de 0 , para o seno ser 0 , esse termo dele tem que ser múltiplo de π ...

1 2 λ = m π   →

λ = 4 m 2 π 2

Como λ tem que ser negativo...

λ = - 4 m 2 π 2

Esses são os autovalores, e as autofunções são:

X x = cos ⁡ 1 2 m π x

Passo 4

Com esses autovalores podemos procurar a solução dessa outra EDO aqui:

T ' t = λ T t   →

T m ' t = - 4 m 2 π 2   T m t

Perceba que a cada m , temos uma EDO diferente! Por equação característica podemos resolvê-la...

r = - 4 m 2 π 2

Logo, a solução é...

T m = b m e - 4 m 2 π 2 t

Onde b m é uma constante de solução para cada m .

Passo 5

A solução para cada m então é:

u m x ,   t = X x ⋅ T m t =

u m x ,   t = b m e - 4 m 2 π 2 t cos ⁡ 1 2 m π x

Assim, o resultado do problema homogêneo é a soma de todas as soluções lineares:

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ b m e - 4 m 2 π 2 t cos ⁡ 1 2 m π x

Passo 6

Achou que tinha acabado, jovem gafanhoto? Ainda falta saber quem é b m pela outra condição que não utilizamos:

u x ,   0 = - 1 ,         0 ≤ x < 1 ,   1 ,         1 ≤ x < 2 ,

Então...

u x ,   0 = ∑ m = 1 ∞ b m e 0 cos ⁡ 1 2 m π x →

u x ,   0 = ∑ m = 1 ∞ b m cos ⁡ 1 2 m π x = - 1 ,         0 ≤ x < 1 ,   1 ,         1 ≤ x < 2

Perceba, que esse b m são os índices de uma série de Fourier em cossenos, e ela pode ser encontrada de acordo com Fourier para série apenas de cossenos:

b m = 2 2 ∫ 0 1 - cos ⁡ 1 2 m π x   d x + ∫ 1 2 cos ⁡ 1 2 m π x   d x →

b m = - sin ⁡ 1 2 m π x 1 2 m π 0 1 + sin ⁡ 1 2 m π x 1 2 m π 1 2 →

b m = - sin ⁡ 1 2 m π 1 2 m π - - sin ⁡ 0 1 2 m π + sin ⁡ m π 1 2 m π - sin ⁡ 1 2 m π 1 2 m π →

b m = - sin ⁡ 1 2 m π 1 2 m π + - sin ⁡ 1 2 m π 1 2 m π →

b m = - 4 sin ⁡ 1 2 m π m π →

SOOO! Finished at least!

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ - 4 sin ⁡ 1 2 m π m π e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

Resposta

u x ,   t = ∑ m = 1 ∞ - 4 sin ⁡ 1 2 m π m π e - m 2 π 2 t sin ⁡ 1 5 m π x

Exercícios de Livros Relacionados

Os Problemas 19 e 20 indicam como é possível mostrar que a solução formal (20), (22) das Eqs. (1), (3) e (9) é, de fato, a solução desse problema.19- Usando a identidade trigonométrica s e nAc o sB=½
Seja h ( ξ ) o deslocamento inicial em [ 0 ,L ] estendido a ( - L ,0 ) como uma função ímpar e estendido ao resto da reta como uma função periódica de período 2 L . Supondo a continuidade de h e suas
Combinando os resultados dos Problemas 16 e 17, mostre que a solução do problemaé dada por
O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polaresSupondo que u ( r ,θ ,t )=R r Θ ( θ ) T ( t ) , enco
Considere a equação de onda a 2 u x x = u t t em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciaisUsando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre queUse a primeira das equações no