UFU – Cálculo 3 – Professora Lúcia – Primeira Lista – 2022/2
3) Ache os valores de para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma das séries (como uma função de ) para esses valores de .
b)
Passo 1
Falaaa... beleza???
Nessa questão vamos achar os valores de que tornam a série geométrica é convergente. Também vamos achar o valor da soma.
Lembrando que a série geométrica pode ser representada por:
Se , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:
Se , a série geométrica é divergente.
Passo 2
Vamos precisar fazer algumas manipulações pra deixar a série dada com a carinha da série geométrica, né?
A gente pode agrupar dentro de uns parênteses, já que tem a mesma potência, né?
A gente pode tirar um dos parênteses e aumentar o índice do somatório e ficar com:
Passo 3
Agora ficou com carinha de série geométrica, né?
Temos que:
E que:
Pra que a série geométrica seja convergente, , então:
Que dividimos em dois casos, por causa do módulo:
- Primeiro caso:
- Segundo caso:
Então os valores de para que a série seja convergente são .
E para a soma da série temos: