UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 1
Encontre a soma da série
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu essa série aqui:
E perguntou qual é a soma dela.
Uma dica bem legal para resolver esse tipo de questão é identificar se temos algo do tipo , e lembrar da série geométrica!
A série geométrica é uma série desse tipo aqui
Se , então essa série converge e podemos achar a soma dela! A soma da série geométrica (quando somamos infinitos termos) é:
Então a ideia aqui é o seguinte: manipular essa série para que tenhamos uma série geométrica (com um apenas) e assim achar a soma!
Mas relaxa! Vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A série dada foi essa aqui:
Para manipular e forma mais fácil, vamos esquecer por alguns momentos o somatório:
Aqui podemos dividir em duas frações:
Lembrando que o somatório de uma soma é a soma dos somatórios, então fica tranquilo separar em dois termos. A soma da série original vai ser a soma dessas duas séries, beleza?
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos trabalhar o primeiro termo?
Pronto! Transformamos esse primeiro termo em algo do tipo , com , então a série converge e podemos achar a soma dela!
Trazendo o somatório de volta:
Assim nosso e e para descobrir a soma, basta substituir esses valores na fórmula da soma:
Beleza?
Bora trabalhar no segundo termo?
Passo 4
O segundo termo era:
A ideia aqui é fazer manipulações bem parecidas com as do primeiro termo, até obtermos algo do tipo , ok?
Voltando com o somatório, temos o seguinte:
Para essa série geométrica e . O próximo passo é calcular a soma:
Passo 5
Por fim, vamos retomar a soma original:
Manipulamos e conseguimos separar em duas séries:
No passo 3 encontramos que a soma do primeiro termo é e no passo 4 a soma do segundo é . Agora é só somar essas duas frações:
Ufa! Terminamos! Então a soma da série é .
Espero ter ajudado! Até próxima!